خطاطة ذهنية «Dérivabilité d'une fonction numérique» لتلاميذ الثانية باك علوم فيزيائية بالفرنسية والعربية: Nombre dérivé, tangente, dérivées et variations. Carte mentale Dérivabilité d'une fonction numérique — 2ème année Bac sciences physiques.
À retenir : $(T)\ :\ y=f'(a)(x-a)+f(a)$
Nombre dérivé
- $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$
- À droite et à gauche
[!] Dérivable $\Rightarrow$ continue
Interprétation géométrique
- Tangente de pente $f'(a)$
- $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ : point anguleux
- Limite infinie : demi-tangente verticale
Dérivées usuelles
- $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$
- $\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\left(\tan x\right)'=1+\tan^2x$
Opérations
- $(uv)'=u'v+uv'$
- $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$\left(v\circ u\right)'=u'\times v'\circ u$
Réciproque
- $\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$
- $b=f(a)$ et $f'(a)\neq0$
- $f'(a)=0$ : tangente verticale
Racine n-ième
- $\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$
$\left(u^r\right)'=ru'u^{r-1}$
Variations
- $f'\geq0$ : croissante
- $f'\leq0$ : décroissante
$f'$ change de signe : extremum
Concavité
- $f''\geq0$ : convexe
- $f''\leq0$ : concave
[!] $f''$ change de signe : point d'inflexion
أحفظ : $(T)\ :\ y=f'(a)(x-a)+f(a)$
العدد المشتق
- $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$
- على اليمين وعلى اليسار
[!] قابلة للاشتقاق $\Rightarrow$ متصلة
التأويل الهندسي
- مماس معامله الموجه $f'(a)$
- $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ : نقطة مزواة
- نهاية لانهائية : نصف مماس عمودي
المشتقات الاعتيادية
- $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$
- $\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\left(\tan x\right)'=1+\tan^2x$
العمليات
- $(uv)'=u'v+uv'$
- $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$\left(v\circ u\right)'=u'\times v'\circ u$
الدالة العكسية
- $\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$
- $b=f(a)$ و $f'(a)\neq0$
- $f'(a)=0$ : مماس عمودي
الجذر من الرتبة n
- $\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$
$\left(u^r\right)'=ru'u^{r-1}$
التغيرات
- $f'\geq0$ : تزايدية
- $f'\leq0$ : تناقصية
تغيّر إشارة $f'$ : مطراف
التقعر
- $f''\geq0$ : محدب
- $f''\leq0$ : مقعر
[!] تغيّر إشارة $f''$ : نقطة انعطاف