Rappels
Dérivabilité en un point
Définition
Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ s’il existe un réel $\ell$ tel que :
$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell$
$\ell$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ ; on a aussi $f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Propriété Tangente et approximation affine
- La droite $(T)\ :\ y=f'(a)(x-a)+f(a)$ est la tangente à $(C_f)$ au point $A(a;f(a))$.
- Pour $h$ proche de $0$ : $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$ (approximation affine).
Exemple
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}$ en $a=2$ : $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}(x^2-4)}{x-2}=\dfrac{x+2}{2}\to2$.
$f'(2)=2$ et la tangente en $A\left(2;\dfrac{5}{2}\right)$ est $y=2x-\dfrac{3}{2}$
Dérivabilité à droite et à gauche — Demi-tangentes
Définition
- $f$ est dérivable à droite en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'_d(a)\in\mathbb{R}$ ; de même à gauche avec $f'_g(a)$.
$f$ est dérivable en $a$ $\iff$ $f'_d(a)$ et $f'_g(a)$ existent et $f'_d(a)=f'_g(a)$
Propriété Interprétation géométrique
- $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ : deux demi-tangentes de coefficients directeurs $f'_d(a)$ et $f'_g(a)$ ; $A$ est un point anguleux.
- Si la limite du taux à droite (ou à gauche) est infinie, $(C_f)$ admet en $A$ une demi-tangente verticale.
Exemple Point anguleux
$f(x)=|x|$ en $0$ : $\dfrac{|x|}{x}=1$ si $x>0$ et $=-1$ si $x<0$ : $f'_d(0)=1\neq f'_g(0)=-1$.
[!] $f$ n’est pas dérivable en $0$ : $O$ est un point anguleux
Exemple Demi-tangente verticale
$f(x)=\sqrt{x}$ en $0$ à droite : $\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to+\infty$.
[!] $f$ n’est pas dérivable à droite en $0$ : demi-tangente verticale en $O$
Dérivées usuelles et opérations
Formules Dérivées usuelles
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Intervalle |
| $k$ | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n\in\mathbb{N}^*$) | $nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0;+\infty[$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\tan x$ | $1+\tan^2x$ | $\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[$ |
Formules Opérations
- $(u+v)'=u'+v'$ ; $(ku)'=ku'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$
- $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
- $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ (avec $u>0$)
- $(f(ax+b))'=af'(ax+b)$
Dérivabilité et continuité
Propriété
Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$
[!] La réciproque est fausse : $x\mapsto|x|$ est continue en $0$ mais n’y est pas dérivable.
Dérivée d’une fonction composée
Théorème
Si $u$ est dérivable sur $I$, $v$ dérivable sur $J$ et $u(I)\subset J$, alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et :
$(v\circ u)'(x)=u'(x)\times v'\left(u(x)\right)$
Exemple
$f(x)=\cos(3x^2-4x+5)$ : $u(x)=3x^2-4x+5$ et $v=\cos$, dérivables sur $\mathbb{R}$.
$f'(x)=(6x-4)\times\left(-\sin(3x^2-4x+5)\right)=-(6x-4)\sin(3x^2-4x+5)$
$g(x)=\sin\left(\sqrt{x^2+3}\right)$ : $x^2+3>0$, donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ :
$g'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}\cos\left(\sqrt{x^2+3}\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}\cos\left(\sqrt{x^2+3}\right)$
Dérivée de la fonction réciproque
Théorème
Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, et $J=f(I)$. Si $f$ est dérivable en $x_0\in I$ avec $f'(x_0)\neq0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0=f(x_0)$ et :
$\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}$
Si $f'$ ne s’annule pas sur $I$ : $(\forall y\in J)\ \left(f^{-1}\right)'(y)=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}$.
Remarque
Si $f'(x_0)=0$, la courbe de $f^{-1}$ admet une tangente verticale au point $(y_0;x_0)$ (symétrique d’une tangente horizontale).
Exemple
$f(x)=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{x}{2}$ : dérivable sur $\mathbb{R}$, $f'(x)=\dfrac{3x^2}{4}+\dfrac{1}{2}>0$ : $f$ est continue, strictement croissante et $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$.
$f(1)=\dfrac{3}{4}$ et $f'(1)=\dfrac{5}{4}\neq0$ :
$\left(f^{-1}\right)'\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{4}{5}$
La tangente $(T)$ à $(C_f)$ en $A\left(1;\dfrac{3}{4}\right)$ et la tangente $(T')$ à la courbe de $f^{-1}$ en $A'\left(\dfrac{3}{4};1\right)$ sont symétriques par rapport à $y=x$ : coefficients $\dfrac{5}{4}$ et $\dfrac{4}{5}$.
Dérivée de la racine n-ième et de la puissance rationnelle
Propriété
- La fonction $x\mapsto\sqrt[n]{x}$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $\left(\sqrt[n]{x}\right)'=\dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$.
- Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ : $\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$.
- Pour $r\in\mathbb{Q}^*$ : $\left(u^r\right)'=ru'u^{r-1}$ (avec $u>0$).
Exemple
$f(x)=\sqrt[3]{8x-5}$ : $u(x)=8x-5>0$ sur $\left]\dfrac{5}{8};+\infty\right[$, donc $f$ y est dérivable :
$f'(x)=\dfrac{8}{3\sqrt[3]{(8x-5)^2}}$
$g(x)=(x^2+1)^{\frac{2}{3}}$ : $x^2+1>0$, dérivable sur $\mathbb{R}$ :
$g'(x)=\dfrac{2}{3}\times2x\times(x^2+1)^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{4x}{3\sqrt[3]{x^2+1}}$
Applications de la dérivation
Théorème Monotonie
Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ : si $f'>0$ sur $I$ (sauf en un nombre fini de points où elle s’annule), $f$ est strictement croissante ; si $f'<0$, strictement décroissante ; si $f'=0$, constante.
Propriété Extremums
Si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $f(a)$ est un extremum relatif de $f$.
Méthode Étudier les variations
1. Dérivabilité : « $f$ est dérivable sur $I$ car … », puis calcul de $f'(x)$ ligne après ligne ;
2. on résout $f'(x)=0$ ;
3. on dresse le tableau de signe de $f'$ puis le tableau de variations de $f$.
Exemple $f(x)=x^3-3x+2$
Dérivabilité : polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
$f'(x)=0\iff x=-1$ ou $x=1$ ; $f(-1)=4$ et $f(1)=0$.
Maximum relatif $f(-1)=4$ et minimum relatif $f(1)=0$
Application Inégalité
Montrer que $(\forall x>0)\ \sqrt[3]{1+x}<1+\dfrac{x}{3}$.
Réponse
Soit $h(x)=1+\dfrac{x}{3}-\sqrt[3]{1+x}$ sur $[0;+\infty[$, dérivable sur $]0;+\infty[$ ($1+x>0$) :
$h'(x)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(1+x)^2}}$
$=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt[3]{(1+x)^2}}\right)>0$
car $(1+x)^2>1$ pour $x>0$. Donc $h$ est strictement croissante et $h(x)>h(0)=0$.
$(\forall x>0)\ \sqrt[3]{1+x}<1+\dfrac{x}{3}$
Erreur fréquente
- Dériver sans justifier la dérivabilité (en particulier pour $\sqrt{u}$ et $\sqrt[n]{u}$, il faut $u>0$).
- Confondre $(v\circ u)'=u'\times v'\circ u$ avec $v'\circ u'$.
À retenir
- $f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ; tangente $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; limite infinie ⇒ demi-tangente verticale.
- $(v\circ u)'=u'\times v'\circ u$ ; $\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}$ ; $\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$