سلسلة تمارين مصححة Généralités sur les fonctions numériques — الأولى باك علوم تجريبية

Correction 1

💡 Méthode :

• polynôme ⇒ $D_f=\mathbb{R}$ ;
• quotient ⇒ dénominateur $\neq0$ ;
• racine ⇒ quantité sous la racine $\geq0$ ;
• racine au dénominateur ⇒ quantité sous la racine $>0$.

a) $f$ est une fonction polynôme :

$D_f=\mathbb{R}$

b) Quotient : le dénominateur doit être non nul.

$D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-9\neq0\}$

$x\in D_f\iff x^2-9\neq0$

$\iff x^2\neq9$

$\iff x\neq3$ et $x\neq-3$

$D_f=\mathbb{R}-\{-3;3\}$

c) Racine : la quantité sous la racine doit être positive.

$D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 4-2x\geq0\}$

$x\in D_f\iff4-2x\geq0$

$\iff-2x\geq-4$

$\iff x\leq2$ (on divise par $-2<0$ : le sens change)

$D_f=]-\infty;2]$

d) Racine au dénominateur : la quantité sous la racine doit être strictement positive.

$D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x-2>0\}$

$x\in D_f\iff x-2>0$

$\iff x>2$

$D_f=]2;+\infty[$

Correction 2

💡 Méthode : polynôme ⇒ $D_f=\mathbb{R}$ ; quotient ⇒ dénominateur $\neq0$ ; racine ⇒ quantité sous la racine $\geq0$ ($>0$ si elle est au dénominateur).

a) $f$ est une fonction polynôme :

$D_f=\mathbb{R}$

b) Quotient : le dénominateur doit être non nul.

$D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 3x-6\neq0\}$

$x\in D_g\iff3x-6\neq0$

$\iff3x\neq6$

$\iff x\neq2$

$D_g=\mathbb{R}-\{2\}$

c) Racine : la quantité sous la racine doit être positive.

$D_h=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 2x+8\geq0\}$

$x\in D_h\iff2x+8\geq0$

$\iff2x\geq-8$

$\iff x\geq-4$

$D_h=[-4;+\infty[$

Correction 3

💡 Méthode : polynôme ⇒ $D_f=\mathbb{R}$ ; quotient ⇒ dénominateur $\neq0$ ; racine ⇒ quantité sous la racine $\geq0$ ($>0$ si elle est au dénominateur).

a) Quotient : $D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-4x+3\neq0\}$. On cherche les racines du dénominateur ($1$ est racine : $1-4+3=0$) :

$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

$x\in D_f\iff(x-1)(x-3)\neq0$

$\iff x\neq1$ et $x\neq3$

$D_f=\mathbb{R}-\{1;3\}$

b) Pour tout réel $x$ : $x^2\geq0$, donc $x^2+1\geq1>0$ : le dénominateur ne s’annule jamais.

$D_g=\mathbb{R}$

Correction 4

💡 Méthode : polynôme ⇒ $D_f=\mathbb{R}$ ; quotient ⇒ dénominateur $\neq0$ ; racine ⇒ quantité sous la racine $\geq0$ ($>0$ si elle est au dénominateur).

a) Racine : $D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-9\geq0\}$. On étudie le signe de $x^2-9=(x-3)(x+3)$ :

$D_f=]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[$

b) Deux conditions : la racine existe et le dénominateur est non nul.

On écrit les deux conditions :

• $x+1\geq0\iff x\geq-1$ ;
• $x-2\neq0\iff x\neq2$.

$D_g=[-1;2[\cup]2;+\infty[$

Correction 5

💡 Méthode : polynôme ⇒ $D_f=\mathbb{R}$ ; quotient ⇒ dénominateur $\neq0$ ; racine ⇒ quantité sous la racine $\geq0$ ($>0$ si elle est au dénominateur).

a) Racine au dénominateur : la quantité sous la racine doit être strictement positive.

$D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 5-x>0\}$

$x\in D_f\iff5-x>0$

$\iff x<5$

$D_f=]-\infty;5[$

b) Quotient : on factorise le dénominateur.

$x^3-x=x(x^2-1)$

$=x(x-1)(x+1)$

$x\in D_g\iff x(x-1)(x+1)\neq0$

$\iff x\neq0$ et $x\neq1$ et $x\neq-1$

$D_g=\mathbb{R}-\{-1;0;1\}$

Correction 6

💡 Méthode : on vérifie les deux conditions, chacune avec sa justification ; si l’une n’est pas vérifiée, la fonction n’est ni paire ni impaire.

a) $f$ est un polynôme : $D_f=\mathbb{R}$.

Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ -x\in D_f$ ?

Si $x\in\mathbb{R}$, alors $-x\in\mathbb{R}$.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(-x)=f(x)$ ?

$f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+1$

$=x^4-3x^2+1$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est paire

b) $x^2+1\geq1>0$, le dénominateur ne s’annule pas : $D_g=\mathbb{R}$.

Condition 1 : $(\forall x\in D_g)\ -x\in D_g$ ?

Si $x\in\mathbb{R}$, alors $-x\in\mathbb{R}$.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $g(-x)=-g(x)$ ?

$g(-x)=\dfrac{2(-x)}{(-x)^2+1}$

$=\dfrac{-2x}{x^2+1}$

$=-g(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$g$ est impaire

c) $D_h=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+1\geq0\}=[-1;+\infty[$.

Condition 1 : $(\forall x\in D_h)\ -x\in D_h$ ?

$2\in D_h$ mais $-2\notin D_h$.

✘ La condition 1 n’est pas vérifiée.

[!] $h$ n’est ni paire ni impaire

d) $k$ est un polynôme : $D_k=\mathbb{R}$ ; la condition 1 est vérifiée ✔.

Condition 2 : on teste avec $x=1$ ?

$k(1)=1-1=0$

$k(-1)=1+1=2$

$k(-1)\neq k(1)$ et $k(-1)\neq-k(1)$ : un contre-exemple suffit.

✘ La condition 2 n’est pas vérifiée.

[!] $k$ n’est ni paire ni impaire

Correction 7

💡 Méthode : on vérifie les deux conditions, chacune avec sa justification : (1) $-x\in D_f$ ; (2) $f(-x)=f(x)$ (paire) ou $f(-x)=-f(x)$ (impaire). Un seul contre-exemple suffit pour conclure « ni paire ni impaire ».

a) $x^2+1\geq1>0$ : $D_f=\mathbb{R}$.

Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ -x\in D_f$ ?

Si $x\in\mathbb{R}$, alors $-x\in\mathbb{R}$.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(-x)=f(x)$ ?

$f(-x)=\dfrac{(-x)^2}{(-x)^2+1}$

$=\dfrac{x^2}{x^2+1}$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est paire

b) $g$ est un polynôme : $D_g=\mathbb{R}$.

Condition 1 : $(\forall x\in D_g)\ -x\in D_g$ ?

Si $x\in\mathbb{R}$, alors $-x\in\mathbb{R}$.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $g(-x)=-g(x)$ ?

$g(-x)=(-x)^3-2(-x)$

$=-x^3+2x$

$=-\left(x^3-2x\right)$

$=-g(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$g$ est impaire

Correction 8

💡 Méthode : on vérifie les deux conditions, chacune avec sa justification : (1) $-x\in D_f$ ; (2) $f(-x)=f(x)$ (paire) ou $f(-x)=-f(x)$ (impaire). Un seul contre-exemple suffit pour conclure « ni paire ni impaire ».

$x\in D_f\iff x^2-1\neq0$

$\iff x^2\neq1$

$\iff x\neq1$ et $x\neq-1$

$D_f=\mathbb{R}-\{-1;1\}$

Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ -x\in D_f$ ?

Si $x\neq1$ et $x\neq-1$, alors $-x\neq-1$ et $-x\neq1$ : $D_f$ est symétrique.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(-x)=-f(x)$ ?

$f(-x)=\dfrac{-x}{(-x)^2-1}$

$=\dfrac{-x}{x^2-1}$

$=-f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est impaire

2. $D_g=\mathbb{R}$ : la condition 1 est vérifiée. On calcule :

$g(1)=(1+1)^2=4$

$g(-1)=(-1+1)^2=0$

$g(-1)\neq g(1)$ : $g$ n’est pas paire ; $g(-1)\neq-g(1)$ : $g$ n’est pas impaire.

[!] Un contre-exemple suffit : $g$ n’est ni paire ni impaire

Correction 9

💡 Méthode : on vérifie les deux conditions, chacune avec sa justification : (1) $-x\in D_f$ ; (2) $f(-x)=f(x)$ (paire) ou $f(-x)=-f(x)$ (impaire). Un seul contre-exemple suffit pour conclure « ni paire ni impaire ».

1. $D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 4-x^2\geq0\}$ et $4-x^2=(2-x)(2+x)$ :

$D_f=[-2;2]$

Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ -x\in D_f$ ?

$-2\leq x\leq2\iff-2\leq-x\leq2$

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(-x)=f(x)$ ?

$f(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}$

$=\sqrt{4-x^2}$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est paire

2. $D_g=\mathbb{R}-\{1\}$.

Condition 1 : $(\forall x\in D_g)\ -x\in D_g$ ?

$-1\in D_g$ mais $-(-1)=1\notin D_g$.

✘ La condition 1 n’est pas vérifiée.

[!] $D_g$ n’est pas symétrique : $g$ n’est ni paire ni impaire

Correction 10

💡 Méthode : on vérifie les deux conditions, chacune avec sa justification : (1) $-x\in D_f$ ; (2) $f(-x)=f(x)$ (paire) ou $f(-x)=-f(x)$ (impaire). Un seul contre-exemple suffit pour conclure « ni paire ni impaire ».

1. Quotient $\dfrac{1}{x}$ : $x\neq0$.

$D_f=\mathbb{R}^*$

Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ -x\in D_f$ ?

$x\neq0\iff-x\neq0$

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(-x)=-f(x)$ ?

$f(-x)=-x+\dfrac{1}{-x}$

$=-x-\dfrac{1}{x}$

$=-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

$=-f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est impaire

2. $f$ est impaire :

$f(-2)=-f(2)$

$=-\dfrac{5}{2}$

$(C_f)$ est symétrique par rapport à l’origine $O$ : $A\left(2;\dfrac{5}{2}\right)$ et $A’\left(-2;-\dfrac{5}{2}\right)$ sont sur $(C_f)$

Correction 11

💡 Méthode :

1. pour $a\neq b$, on calcule $T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$ en factorisant par $a-b$ ;

2. on étudie le **signe de $T$** : $T>0$ ⇒ strictement croissante ; $T<0$ ⇒ strictement décroissante.

a) Pour $a\neq b$ :

$T=\dfrac{(-3a+2)-(-3b+2)}{a-b}$

$=\dfrac{-3a+3b}{a-b}$

$=\dfrac{-3(a-b)}{a-b}$

$=-3$

$T=-3<0$ :

$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

b) Pour $a\neq b$ :

$g(a)-g(b)=a^2-b^2-4a+4b$

$=(a-b)(a+b)-4(a-b)$

$=(a-b)(a+b-4)$

$T=\dfrac{(a-b)(a+b-4)}{a-b}$

$=a+b-4$

• Sur $[2;+\infty[$ : $a\geq2$ et $b\geq2$ (et $a\neq b$), donc $a+b>4$ : $T>0$.
• Sur $]-\infty;2]$ : $a+b<4$ : $T<0$.

$g(2)=4-8=-4$

$g$ est strictement décroissante sur $]-\infty;2]$ et strictement croissante sur $[2;+\infty[$

c) Pour $a\neq b$ dans $]1;+\infty[$ :

$h(a)-h(b)=\dfrac{3}{a-1}-\dfrac{3}{b-1}$

$=\dfrac{3(b-1)-3(a-1)}{(a-1)(b-1)}$

$=\dfrac{-3(a-b)}{(a-1)(b-1)}$

$T=\dfrac{-3}{(a-1)(b-1)}$

$a>1$ et $b>1$ : $(a-1)(b-1)>0$, donc $T<0$.

$h$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$

Correction 12

💡 Méthode : pour $a\neq b$ dans $I$, on calcule le taux de variation $T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$ et on étudie son signe : $T>0$ ⇒ $f$ strictement croissante sur $I$ ; $T<0$ ⇒ strictement décroissante.

a) Soient $a\neq b$ deux réels :

$T=\dfrac{(-2a+5)-(-2b+5)}{a-b}$

$=\dfrac{-2a+2b}{a-b}$

$=\dfrac{-2(a-b)}{a-b}$

$=-2$

$T=-2<0$ :

$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

b) Soient $a\neq b$ deux réels :

$T=\dfrac{(3a-1)-(3b-1)}{a-b}$

$=\dfrac{3(a-b)}{a-b}$

$=3$

$T=3>0$ :

$g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

💡 Pour $x\mapsto mx+p$, le taux vaut toujours $m$ : le sens de variation est donné par le signe de $m$.

Correction 13

💡 Méthode : pour $a\neq b$ dans $I$, on calcule le taux de variation $T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$ et on étudie son signe : $T>0$ ⇒ $f$ strictement croissante sur $I$ ; $T<0$ ⇒ strictement décroissante.

1. $T=\dfrac{(a^2+2)-(b^2+2)}{a-b}$

$=\dfrac{a^2-b^2}{a-b}$

$=\dfrac{(a-b)(a+b)}{a-b}$

$=a+b$

2. Sur $[0;+\infty[$ : $a\geq0$, $b\geq0$ et $a\neq b$, donc $a+b>0$ :

$f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$

Sur $]-\infty;0]$ : $a\leq0$, $b\leq0$ et $a\neq b$, donc $a+b<0$ :

$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$

$f(0)=0+2=2$

Correction 14

💡 Méthode : pour $a\neq b$ dans $I$, on calcule le taux de variation $T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$ et on étudie son signe : $T>0$ ⇒ $f$ strictement croissante sur $I$ ; $T<0$ ⇒ strictement décroissante.

1. $x\in D_f\iff x+1\neq0$

$\iff x\neq-1$

$D_f=\mathbb{R}-\{-1\}$

2. On réduit au même dénominateur :

$f(a)-f(b)=\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{b+1}$

$=\dfrac{(b+1)-(a+1)}{(a+1)(b+1)}$

$=\dfrac{-(a-b)}{(a+1)(b+1)}$

$T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$

$=\dfrac{-1}{(a+1)(b+1)}$

3. Sur $]-1;+\infty[$ : $a+1>0$ et $b+1>0$, donc $(a+1)(b+1)>0$ et $T<0$ :

$f$ est strictement décroissante sur $]-1;+\infty[$

Sur $]-\infty;-1[$ : $a+1<0$ et $b+1<0$, donc $(a+1)(b+1)>0$ et $T<0$ :

$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-1[$

[!] On ne dit pas « décroissante sur $\mathbb{R}-\{-1\}$ » : on donne les deux intervalles séparément.

Correction 15

💡 Méthode : pour $a\neq b$ dans $I$, on calcule le taux de variation $T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$ et on étudie son signe : $T>0$ ⇒ $f$ strictement croissante sur $I$ ; $T<0$ ⇒ strictement décroissante.

1. $T=\dfrac{(a^2-4a)-(b^2-4b)}{a-b}$

$=\dfrac{(a^2-b^2)-4(a-b)}{a-b}$

$=\dfrac{(a-b)(a+b-4)}{a-b}$

$=a+b-4$

2. Sur $[2;+\infty[$ : $a\geq2$, $b\geq2$ et $a\neq b$, donc $a+b>4$ et $T>0$ :

$f$ est strictement croissante sur $[2;+\infty[$

Sur $]-\infty;2]$ : $a\leq2$, $b\leq2$ et $a\neq b$, donc $a+b<4$ et $T<0$ :

$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;2]$

3. $f(2)=4-8=-4$

La valeur minimale de $f$ est $-4$, atteinte en $2$

Correction 16

💡 Méthode : pour comparer $f(x)$ à un nombre $m$, on étudie le **signe de $f(x)-m$ ; pour un extremum, on vérifie en plus que la valeur est atteinte**.

1. On calcule la différence :

$f(x)-2=x^2-6x+9$

$=(x-3)^2\geq0$

Donc $f(x)\geq2$ pour tout $x$ : $f$ est minorée par $2$. De plus :

$f(3)=9-18+11=2$

$f(x)\geq f(3)$ : $2$ est la valeur minimale de $f$, atteinte en $3$

2. Pour tout $x$ : $x^2\geq0$, donc $x^2+2\geq2>0$ ; en passant à l’inverse (nombres positifs) :

$0<\dfrac{1}{x^2+2}\leq\dfrac{1}{2}$

$\iff0<\dfrac{4}{x^2+2}\leq2$

$g$ est minorée par $0$ et majorée par $2$ : elle est bornée. Et $g(0)=\dfrac{4}{2}=2$ :

$2$ est la valeur maximale de $g$, atteinte en $0$

3. On calcule la différence :

$u(x)-1=\dfrac{x^2+2-(x^2+1)}{x^2+1}$

$=\dfrac{1}{x^2+1}>0$

Donc $u(x)>1$ pour tout $x$ : $1$ est un minorant de $u$. Mais l’inégalité est stricte : $u(x)=1$ n’a pas de solution.

[!] $1$ n’est pas une valeur minimale de $u$ (il n’est jamais atteint)

Correction 17

💡 Méthode : pour comparer $f(x)$ à un nombre $m$, on étudie le signe de la différence $f(x)-m$ ; pour un extremum, on vérifie en plus que la valeur est atteinte.

1. $f(x)-3=x^2-4x+4$

$=(x-2)^2$

2. Un carré est positif : $(x-2)^2\geq0$, donc $f(x)-3\geq0$ :

$(\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\geq3$ : $f$ est minorée par $3$

De plus, la valeur $3$ est atteinte :

$f(2)=4-8+7=3$

$3$ est la valeur minimale de $f$, atteinte en $2$

Correction 18

💡 Méthode : pour comparer $f(x)$ à un nombre $m$, on étudie le signe de la différence $f(x)-m$ ; pour un extremum, on vérifie en plus que la valeur est atteinte.

1. $4-f(x)=4+x^2-6x+5$

$=x^2-6x+9$

$=(x-3)^2$

2. $(x-3)^2\geq0$, donc $4-f(x)\geq0$ :

$(\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\leq4$ : $f$ est majorée par $4$

$f(3)=-9+18-5=4$

$4$ est la valeur maximale de $f$, atteinte en $3$

Correction 19

💡 Méthode : pour comparer $f(x)$ à un nombre $m$, on étudie le signe de la différence $f(x)-m$ ; pour un extremum, on vérifie en plus que la valeur est atteinte.

1. $2x^2\geq0$ et $x^2+1>0$, donc le quotient est positif : $f(x)\geq0$. Et $f(0)=0$ :

$0$ est la valeur minimale de $f$, atteinte en $0$

2. On calcule la différence :

$2-f(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x^2}{x^2+1}$

$=\dfrac{2}{x^2+1}>0$

Donc $f(x)<2$ pour tout $x$ : $0\leq f(x)<2$.

$f$ est bornée sur $\mathbb{R}$

[!] L’inégalité $f(x)<2$ est stricte : $2$ n’est jamais atteint, ce n’est pas une valeur maximale

Correction 20

💡 Méthode : pour comparer $f(x)$ à un nombre $m$, on étudie le signe de la différence $f(x)-m$ ; pour un extremum, on vérifie en plus que la valeur est atteinte.

1. $f(x)-\dfrac{3}{2}=\dfrac{6x-3(x^2+1)}{2(x^2+1)}$

$=\dfrac{-3(x^2-2x+1)}{2(x^2+1)}$

$=\dfrac{-3(x-1)^2}{2(x^2+1)}$

$f(x)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{6x+3(x^2+1)}{2(x^2+1)}$

$=\dfrac{3(x^2+2x+1)}{2(x^2+1)}$

$=\dfrac{3(x+1)^2}{2(x^2+1)}$

2. $f(x)-\dfrac{3}{2}\leq0$ et $f(x)+\dfrac{3}{2}\geq0$ (carré positif, dénominateur positif) :

$(\forall x\in\mathbb{R})\ -\dfrac{3}{2}\leq f(x)\leq\dfrac{3}{2}$ : $f$ est bornée

$f(1)=\dfrac{3}{2}$

$f(-1)=-\dfrac{3}{2}$

Valeur maximale $\dfrac{3}{2}$ (en $1$) ; valeur minimale $-\dfrac{3}{2}$ (en $-1$)

Correction 21

💡 Méthode : on factorise $f(x)-g(x)$ et on étudie son signe ; $f(x)-g(x)\geq0\iff f(x)\geq g(x)\iff(C_f)$ au-dessus de $(C_g)$.

1. On calcule et on factorise ($-1$ est racine : $1+2-3=0$) :

$f(x)-g(x)=x^2-2x-3$

$=(x+1)(x-3)$

$f(x)-g(x)=0\iff(x+1)(x-3)=0$

$\iff x=-1$ ou $x=3$

2. D’après le tableau :

• sur $]-\infty;-1]$ et sur $[3;+\infty[$ : $f\geq g$, $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$ ;
• sur $[-1;3]$ : $f\leq g$, $(C_f)$ est au-dessous de $(C_g)$ ;
• les courbes se coupent en $A(-1;1)$ et $B(3;9)$.

Correction 22

💡 Méthode : on calcule $f(x)-g(x)$, on le factorise, on étudie son signe : $f(x)-g(x)\geq0\iff f(x)\geq g(x)\iff(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$.

1. $f(x)-g(x)=x^2-4x+4$

$=(x-2)^2$

2. $(x-2)^2\geq0$ pour tout $x$ :

$f\geq g$ sur $\mathbb{R}$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$

$f(x)=g(x)\iff(x-2)^2=0$

$\iff x=2$

Les courbes ont un seul point commun $A(2;4)$ : la droite $(C_g)$ « touche » la parabole en $A$.

Correction 23

💡 Méthode : on calcule $f(x)-g(x)$, on le factorise, on étudie son signe : $f(x)-g(x)\geq0\iff f(x)\geq g(x)\iff(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$.

1. $f(x)-g(x)=x^2-x^3$

$=x^2(1-x)$

$x^2\geq0$, donc le signe de $f(x)-g(x)$ est celui de $1-x$ :

2. - Sur $[0;1]$ : $f\geq g$, $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$ ;

• sur $[1;+\infty[$ : $f\leq g$, $(C_f)$ est au-dessous de $(C_g)$.

$0{,}5\in[0;1]$, donc $f(0{,}5)\geq g(0{,}5)$ :

$(0{,}5)^2\geq(0{,}5)^3$

Correction 24

💡 Méthode : on calcule $f(x)-g(x)$, on le factorise, on étudie son signe : $f(x)-g(x)\geq0\iff f(x)\geq g(x)\iff(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$.

1. $f(x)-g(x)=\dfrac{1}{x}-x$

$=\dfrac{1-x^2}{x}$

$=\dfrac{(1-x)(1+x)}{x}$

2. Sur $]0;+\infty[$ : $x>0$ et $1+x>0$, donc le signe est celui de $1-x$ :

• sur $]0;1]$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$ ;
• sur $[1;+\infty[$ : $(C_f)$ est au-dessous de $(C_g)$ ;

les courbes se coupent en $A(1;1)$

Correction 25

💡 Méthode : on calcule $f(x)-g(x)$, on le factorise, on étudie son signe : $f(x)-g(x)\geq0\iff f(x)\geq g(x)\iff(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$.

1. $\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}\right)^2$

$=\sqrt{x}-x$

$=f(x)-g(x)$

2. $\sqrt{x}\geq0$ ; on étudie le signe de $1-\sqrt{x}$ (la racine carrée est croissante) :

• si $0\leq x\leq1$ : $\sqrt{x}\leq1$, donc $1-\sqrt{x}\geq0$ et $f(x)-g(x)\geq0$ ;
• si $x\geq1$ : $\sqrt{x}\geq1$, donc $1-\sqrt{x}\leq0$ et $f(x)-g(x)\leq0$.

3. Sur $[0;1]$ : $(C_f)$ au-dessus de $(C_g)$ ; sur $[1;+\infty[$ : $(C_f)$ au-dessous.

les courbes se coupent en $O(0;0)$ et $A(1;1)$

Correction 26

💡 Méthode : axe $x=a$ : $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=f(x)$ ; centre $\Omega(a;b)$ : $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$.

1. Ici $a=1$, donc $2a-x=2-x$ ; $f$ est un polynôme : $D_f=\mathbb{R}$.

Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ 2-x\in D_f$ ?

Si $x\in\mathbb{R}$, alors $2-x\in\mathbb{R}$.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(2-x)=f(x)$ ?

$f(2-x)=-(2-x)^2+2(2-x)+3$

$=-\left(4-4x+x^2\right)+4-2x+3$

$=-4+4x-x^2+4-2x+3$

$=-x^2+2x+3$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

La droite $x=1$ est un axe de symétrie de $(C_f)$

2. Ici $a=-1$ et $b=2$, donc $2a-x=-2-x$ ; $D_g=\mathbb{R}-\{-1\}$.

Condition 1 : $(\forall x\in D_g)\ -2-x\in D_g$ ?

$x\neq-1\iff-x\neq1$

$\iff-2-x\neq-1$

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $g(-2-x)+g(x)=4$ ?

$g(-2-x)=\dfrac{2(-2-x)+1}{(-2-x)+1}$

$=\dfrac{-2x-3}{-x-1}$

$=\dfrac{2x+3}{x+1}$

$g(-2-x)+g(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}+\dfrac{2x+1}{x+1}$

$=\dfrac{4x+4}{x+1}$

$=\dfrac{4(x+1)}{x+1}$

$=4=2\times2$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$\Omega(-1;2)$ est un centre de symétrie de $(C_g)$

Correction 27

💡 Méthode : la droite $x=a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ si : (1) $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ ; (2) $(\forall x\in D_f)\ f(2a-x)=f(x)$.

Ici $a=3$, donc $2a-x=6-x$ ; $f$ est un polynôme : $D_f=\mathbb{R}$.

Condition 1 : $(\forall x\in\mathbb{R})\ 6-x\in\mathbb{R}$ ?

Oui, $6-x$ est un réel.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(6-x)=f(x)$ ?

$f(6-x)=(6-x)^2-6(6-x)+1$

$=36-12x+x^2-36+6x+1$

$=x^2-6x+1$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

La droite $x=3$ est un axe de symétrie de $(C_f)$

Correction 28

💡 Méthode : la droite $x=a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ si : (1) $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ ; (2) $(\forall x\in D_f)\ f(2a-x)=f(x)$.

1. Ici $a=-1$, donc $2a-x=-2-x$ ; $D_f=\mathbb{R}$.

Condition 1 : $(\forall x\in\mathbb{R})\ -2-x\in\mathbb{R}$ ?

Oui.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(-2-x)=f(x)$ ?

$f(-2-x)=(-2-x)^2+2(-2-x)-3$

$=4+4x+x^2-4-2x-3$

$=x^2+2x-3$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

La droite $x=-1$ est un axe de symétrie de $(C_f)$

2. On applique $f(-2-x)=f(x)$ avec $x=1$ :

$f(-3)=f(-2-1)$

$=f(1)$

$=0$

Correction 29

💡 Méthode : $\Omega(a;b)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ si : (1) $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ ; (2) $(\forall x\in D_f)\ f(2a-x)+f(x)=2b$.

Ici $a=1$ et $b=1$, donc $2a-x=2-x$ ; $D_f=\mathbb{R}-\{1\}$.

Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ 2-x\in D_f$ ?

$x\neq1\iff-x\neq-1$

$\iff2-x\neq1$

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(2-x)+f(x)=2$ ?

$f(2-x)=\dfrac{(2-x)+3}{(2-x)-1}$

$=\dfrac{5-x}{1-x}$

$=\dfrac{x-5}{x-1}$

$f(2-x)+f(x)=\dfrac{x-5}{x-1}+\dfrac{x+3}{x-1}$

$=\dfrac{2x-2}{x-1}$

$=\dfrac{2(x-1)}{x-1}$

$=2$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$\Omega(1;1)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$

Correction 30

💡 Méthode : $\Omega(a;b)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ si : (1) $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ ; (2) $(\forall x\in D_f)\ f(2a-x)+f(x)=2b$.

1. On développe $(2-x)^3=8-12x+6x^2-x^3$ et $(2-x)^2=4-4x+x^2$ :

$f(2-x)=(2-x)^3-3(2-x)^2+2$

$=8-12x+6x^2-x^3-12+12x-3x^2+2$

$=-x^3+3x^2-2$

2. Ici $a=1$, $b=0$ ; $D_f=\mathbb{R}$.

Condition 1 : $(\forall x\in\mathbb{R})\ 2-x\in\mathbb{R}$ ?

Oui.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(2-x)+f(x)=2\times0=0$ ?

$f(2-x)+f(x)=\left(-x^3+3x^2-2\right)+\left(x^3-3x^2+2\right)$

$=0$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$\Omega(1;0)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$

Correction 31

💡 Méthode : on vérifie les deux conditions : $x\pm T\in D_f$, puis $f(x+T)=f(x)$.

1. $D_f=\mathbb{R}$, $T=\dfrac{2\pi}{3}$.

Condition 1 : $x+\dfrac{2\pi}{3}\in D_f$ et $x-\dfrac{2\pi}{3}\in D_f$ ?

Ce sont des réels : oui.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=f(x)$ ?

$f\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(3x+2\pi\right)$

$=\cos(3x)$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est périodique de période $\dfrac{2\pi}{3}$

(Sur la figure : $x_B=x_A+\dfrac{2\pi}{3}$, la courbe se répète.)

2. $D_g=\mathbb{R}$, donc $x\pm\pi\in D_g$ ✔ (condition 1).

Condition 2 : $g(x+\pi)=g(x)$ ?

$g(x+\pi)=\left(\sin(x+\pi)\right)^2$

$=(-\sin x)^2$

$=\sin^2x$

$=g(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$g$ est périodique de période $\pi$

Correction 32

💡 Méthode : $f$ est périodique de période $T>0$ si : (1) $(\forall x\in D_f)\ x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ; (2) $(\forall x\in D_f)\ f(x+T)=f(x)$. On utilise $\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$ et $\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$.

Condition 1 : $x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ?

$D_f=\mathbb{R}$ : ce sont des réels.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(x+\pi)=f(x)$ ?

$f(x+\pi)=\sin\left(2(x+\pi)\right)$

$=\sin(2x+2\pi)$

$=\sin(2x)$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est périodique de période $\pi$

(Sur la figure : $x_B=x_A+\pi$, la courbe se reproduit tous les $\pi$.)

Correction 33

💡 Méthode : $f$ est périodique de période $T>0$ si : (1) $(\forall x\in D_f)\ x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ; (2) $(\forall x\in D_f)\ f(x+T)=f(x)$. On utilise $\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$ et $\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$.

Condition 1 : $x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ?

$D_f=\mathbb{R}$ : ce sont des réels.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(x+4\pi)=f(x)$ ?

$f(x+4\pi)=\cos\left(\dfrac{x+4\pi}{2}\right)$

$=\cos\left(\dfrac{x}{2}+2\pi\right)$

$=\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est périodique de période $4\pi$

💡 On retrouve la règle : $\cos(ax+b)$ a pour période $\dfrac{2\pi}{|a|}=\dfrac{2\pi}{1/2}=4\pi$.

Correction 34

💡 Méthode : $f$ est périodique de période $T>0$ si : (1) $(\forall x\in D_f)\ x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ; (2) $(\forall x\in D_f)\ f(x+T)=f(x)$. On utilise $\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$ et $\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$.

Condition 1 : $x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ?

$D_f=\mathbb{R}$ : ce sont des réels.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(x+2\pi)=f(x)$ ?

$f(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)+\cos\left(2x+4\pi\right)$

$=\sin x+\cos(2x)$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

(car $4\pi=2\times2\pi$ : on ajoute deux tours.)

$f$ est périodique de période $2\pi$

2. $f(0)=\sin0+\cos0$

$=0+1$

$=1$

Par périodicité : $f(0+2\pi)=f(0)$ et $f(0-2\pi)=f(0)$ :

$f(2\pi)=f(-2\pi)=1$

Correction 35

💡 Méthode : $f$ est périodique de période $T>0$ si : (1) $(\forall x\in D_f)\ x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ; (2) $(\forall x\in D_f)\ f(x+T)=f(x)$. On utilise $\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$ et $\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$.

Condition 1 : $x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ?

$D_f=\mathbb{R}$ : ce sont des réels.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(x+\pi)=f(x)$ ?

$f(x+\pi)=\left(\cos(x+\pi)\right)^2$

$=(-\cos x)^2$

$=\cos^2x$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est périodique de période $\pi$

2. $D_f=\mathbb{R}$ est symétrique ✔ ; et $\cos(-x)=\cos x$ :

$f(-x)=\cos^2(-x)$

$=\cos^2x$

$=f(x)$

$f$ est paire

3. Par périodicité, on étudie $f$ sur un intervalle de longueur $\pi$, par exemple $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ ; comme $f$ est paire, on se limite à $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis on complète par symétrie par rapport à $(Oy)$.

Correction 36

1. 💡 Méthode : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, $\beta=f(\alpha)$, $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ; le signe de $a$ donne le sens.

$\alpha=-\dfrac{-8}{2\times2}=2$

$\beta=f(2)=8-16+5=-3$

$f(x)=2(x-2)^2-3$

$a=2>0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty;2]$ et croissante sur $[2;+\infty[$ ; minimum $-3$.

2. 💡 Méthode : $D_g$ : dénominateur $\neq0$ ; puis le déterminant $\Delta=ad-bc$ : $\Delta>0$ ⇒ croissante, $\Delta<0$ ⇒ décroissante sur chaque intervalle de $D_g$.

$x\in D_g\iff2x-4\neq0$

$\iff x\neq2$

$D_g=\mathbb{R}-\{2\}$

$a=-1$, $b=3$, $c=2$, $d=-4$ :

$\Delta=\begin{vmatrix}-1&3\\2&-4\end{vmatrix}=(-1)\times(-4)-3\times2$

$=4-6$

$=-2$

$\Delta<0$ :

$g$ est strictement décroissante sur $]-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$

Correction 37

1. $f$ est un polynôme :

$D_f=\mathbb{R}$

Parité — condition 1 : si $x\in\mathbb{R}$, $-x\in\mathbb{R}$ ✔ ; condition 2 :

$f(-x)=2(-x)^3$

$=-2x^3$

$=-f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est impaire

Variations : $f(x)=ax^3$ avec $a=2>0$ :

$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

2. Racine : la quantité sous la racine doit être positive.

$x\in D_g\iff x-1\geq0$

$\iff x\geq1$

$D_g=[1;+\infty[$

Monotonie : soient $1\leq u<v$ ; alors $0\leq u-1<v-1$, et la racine carrée est strictement croissante :

$\sqrt{u-1}<\sqrt{v-1}$

$\iff g(u)<g(v)$

$g$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$

| $x$ | $1$ | $2$ | $5$ | $10$ |

| $g(x)$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |

Correction 38

💡 Méthode : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, $\beta=f(\alpha)$ et $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ; le signe de $a$ donne le sens de variation.

1. $\alpha=-\dfrac{4}{2\times(-1)}=2$

$\beta=f(2)=-4+8-1=3$

$f(x)=-(x-2)^2+3$

2. $a=-1<0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty;2]$ puis décroissante sur $[2;+\infty[$.

$(C_f)$ est une parabole de sommet $S(2;3)$, d’axe $x=2$ ; $3$ est la valeur maximale

Correction 39

💡 Méthode : pour $x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}$, on calcule le déterminant $\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ : $\Delta>0$ ⇒ strictement croissante, $\Delta<0$ ⇒ strictement décroissante sur chaque intervalle de $D_g$.

1. $x\in D_g\iff x-3\neq0$

$\iff x\neq3$

$D_g=\mathbb{R}-\{3\}$

2. $a=2$, $b=1$, $c=1$, $d=-3$ :

$\Delta=\begin{vmatrix}2&1\\1&-3\end{vmatrix}=2\times(-3)-1\times1$

$=-6-1$

$=-7$

$\Delta<0$ :

$g$ est strictement décroissante sur $]-\infty;3[$ et sur $]3;+\infty[$

Correction 40

💡 Méthode : $x\mapsto ax^3$ est définie sur $\mathbb{R}$, impaire ; strictement croissante si $a>0$, strictement décroissante si $a<0$.

1. $D_f=\mathbb{R}$ est symétrique ✔ (condition 1). Condition 2 :

$f(-x)=-3(-x)^3$

$=3x^3$

$=-f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est impaire

2. $a=-3<0$ :

$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

3. $2<3$ et $f$ est strictement décroissante (elle inverse l’ordre) :

$f(2)>f(3)$

Correction 41

💡 Méthode : $x\mapsto\sqrt{x+a}$ est définie sur $[-a;+\infty[$ et strictement croissante ; sa courbe est une demi-parabole d’origine $A(-a;0)$.

1. $x\in D_f\iff x+4\geq0$

$\iff x\geq-4$

$D_f=[-4;+\infty[$

2. Soient $-4\leq u<v$ : alors $0\leq u+4<v+4$, et la racine carrée est strictement croissante :

$\sqrt{u+4}<\sqrt{v+4}$

$\iff f(u)<f(v)$

$f$ est strictement croissante sur $[-4;+\infty[$

$f(x)\geq0$ et $f(-4)=0$ : la valeur minimale de $f$ est $0$, atteinte en $-4$.

| $x$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ |

| $f(x)$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |

Correction 42

💡 Méthode : $x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$ ; même sens ⇒ croissante, sens contraires ⇒ décroissante.

1. $D_f=\mathbb{R}$ et $D_g=[0;+\infty[$ :

$x\in D_{g\circ f}\iff x\in\mathbb{R}$ et $x-2\geq0$

$\iff x\geq2$

$D_{g\circ f}=[2;+\infty[$

$(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)=\sqrt{x-2}$

$f$ est croissante sur $[2;+\infty[$ et $f([2;+\infty[)\subset[0;+\infty[$ où $g$ est croissante : même sens.

$g\circ f$ est croissante sur $[2;+\infty[$

2. $v(x)=\dfrac{1}{x}$ : $(v\circ u)(x)=\dfrac{1}{x^2+1}=h(x)$.

$u$ est croissante sur $[0;+\infty[$ et $u([0;+\infty[)=[1;+\infty[$ ; $v$ est décroissante sur $]0;+\infty[$ : sens contraires.

$h$ est décroissante sur $[0;+\infty[$

Correction 43

💡 Méthode : $(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)$ et $x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$. Monotonie : même sens ⇒ $g\circ f$ croissante ; sens contraires ⇒ $g\circ f$ décroissante.

$D_f=D_g=\mathbb{R}$, donc les deux composées sont définies sur $\mathbb{R}$.

$(g\circ f)(x)=g(2x+1)$

$=(2x+1)^2$

$=4x^2+4x+1$

$(f\circ g)(x)=f\left(x^2\right)$

$=2x^2+1$

Par exemple pour $x=1$ : $(g\circ f)(1)=9$ et $(f\circ g)(1)=3$.

[!] $g\circ f\neq f\circ g$ : l’ordre de composition compte

Correction 44

💡 Méthode : $(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)$ et $x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$. Monotonie : même sens ⇒ $g\circ f$ croissante ; sens contraires ⇒ $g\circ f$ décroissante.

$D_f=\mathbb{R}^*$ et $D_g=\mathbb{R}$.

1. $x\in D_{g\circ f}\iff x\neq0$ et $\dfrac{1}{x}\in\mathbb{R}$

$\iff x\neq0$

$D_{g\circ f}=\mathbb{R}^*$

$(g\circ f)(x)=g\left(\dfrac{1}{x}\right)$

$=\dfrac{1}{x}-1$

2. $x\in D_{f\circ g}\iff x\in\mathbb{R}$ et $x-1\neq0$

$\iff x\neq1$

$D_{f\circ g}=\mathbb{R}-\{1\}$

$(f\circ g)(x)=f(x-1)$

$=\dfrac{1}{x-1}$

Correction 45

💡 Méthode : $(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)$ et $x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$. Monotonie : même sens ⇒ $g\circ f$ croissante ; sens contraires ⇒ $g\circ f$ décroissante.

1. $(v\circ u)(x)=v\left(x^2+3\right)$

$=\sqrt{x^2+3}$

$=h(x)$

2. Sur $[0;+\infty[$ : $u$ est croissante et $u(x)\geq3$, donc $u([0;+\infty[)\subset[3;+\infty[$ où $v$ est croissante : même sens.

$h$ est croissante sur $[0;+\infty[$

Sur $]-\infty;0]$ : $u$ est décroissante et $v$ croissante : sens contraires.

$h$ est décroissante sur $]-\infty;0]$

$h(0)=\sqrt{3}$

La valeur minimale de $h$ est $\sqrt{3}$, atteinte en $0$

Correction 46

💡 Méthode : $(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)$ et $x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$. Monotonie : même sens ⇒ $g\circ f$ croissante ; sens contraires ⇒ $g\circ f$ décroissante.

1. $(x-1)^2+1=x^2-2x+1+1$

$=x^2-2x+2$

$(x-1)^2+1\geq1>0$ : le dénominateur ne s’annule jamais.

$D_h=\mathbb{R}$

2. $(v\circ u)(x)=\dfrac{1}{u(x)}$

$=\dfrac{1}{x^2-2x+2}$

$=h(x)$

3. $u(x)=(x-1)^2+1$ est un trinôme ($a=1>0$, sommet en $1$) : décroissante sur $]-\infty;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$, à valeurs dans $[1;+\infty[$ où $v$ est décroissante.

• sur $[1;+\infty[$ : $u$ croissante, $v$ décroissante : sens contraires ⇒ $h$ décroissante ;
• sur $]-\infty;1]$ : $u$ décroissante, $v$ décroissante : même sens ⇒ $h$ croissante.

$h(1)=\dfrac{1}{1}=1$

La valeur maximale de $h$ est $1$, atteinte en $1$

Correction 47

1. $x^2+4\geq4>0$ : le dénominateur ne s’annule jamais.

$D_f=\mathbb{R}$

Condition 1 : $(\forall x\in\mathbb{R})\ -x\in\mathbb{R}$ ?

Oui.

✔ La condition 1 est vérifiée.

Condition 2 : $f(-x)=-f(x)$ ?

$f(-x)=\dfrac{-x}{(-x)^2+4}$

$=-\dfrac{x}{x^2+4}$

$=-f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

$f$ est impaire

2. 💡 On étudie le signe de $f(x)-\dfrac{1}{4}$ et de $f(x)+\dfrac{1}{4}$.

$f(x)-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4x-(x^2+4)}{4(x^2+4)}$

$=\dfrac{-(x^2-4x+4)}{4(x^2+4)}$

$=\dfrac{-(x-2)^2}{4(x^2+4)}\leq0$

$f(x)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4x+x^2+4}{4(x^2+4)}$

$=\dfrac{(x+2)^2}{4(x^2+4)}\geq0$

Donc $-\dfrac{1}{4}\leq f(x)\leq\dfrac{1}{4}$ ; de plus $f(2)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ et $f(-2)=-\dfrac{1}{4}$ :

Maximum $\dfrac{1}{4}$ (en $2$) ; minimum $-\dfrac{1}{4}$ (en $-2$)

3. On réduit au même dénominateur :

$f(a)-f(b)=\dfrac{a(b^2+4)-b(a^2+4)}{(a^2+4)(b^2+4)}$

$=\dfrac{ab^2-a^2b+4a-4b}{(a^2+4)(b^2+4)}$

$=\dfrac{ab(b-a)+4(a-b)}{(a^2+4)(b^2+4)}$

$=\dfrac{(a-b)(4-ab)}{(a^2+4)(b^2+4)}$

En divisant par $a-b\neq0$ :

$\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{4-ab}{(a^2+4)(b^2+4)}$

4. Le dénominateur est positif : $T$ a le signe de $4-ab$.

• Sur $[0;2]$ : $0\leq a\leq2$, $0\leq b\leq2$, $a\neq b$ ⇒ $ab<4$ ⇒ $T>0$ : $f$ strictement croissante.
• Sur $[2;+\infty[$ : $a\geq2$, $b\geq2$, $a\neq b$ ⇒ $ab>4$ ⇒ $T<0$ : $f$ strictement décroissante.
• $f$ impaire : même sens sur les intervalles symétriques ($[-2;0]$ croissante, $]-\infty;-2]$ décroissante).

Correction 48

1. $\alpha=-\dfrac{-2}{2}=1$ et $\beta=f(1)=1-2-3=-4$ :

$f(x)=(x-1)^2-4$

$a=1>0$ : décroissante sur $]-\infty;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$.

**Axe $x=1$** — condition 1 : $D_f=\mathbb{R}$, $2-x\in\mathbb{R}$ ✔ ; condition 2 :

$f(2-x)=(2-x-1)^2-4$

$=(1-x)^2-4$

$=(x-1)^2-4$

$=f(x)$

✔ La condition 2 est vérifiée.

La droite $x=1$ est un axe de symétrie de $(C_f)$

2. On calcule et on factorise ($-1$ est racine) :

$f(x)-g(x)=x^2-3x-4$

$=(x+1)(x-4)$

$f(x)\leq g(x)\iff f(x)-g(x)\leq0$

$\iff-1\leq x\leq4$

$S=[-1;4]$

3. Domaine : il faut $x^2-2x-3\geq0$, avec $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ :

$D_h=]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[$

Variations : $h(x)=\sqrt{f(x)}$ et la racine carrée est croissante sur $[0;+\infty[$ :

• sur $[3;+\infty[$ : $f$ est croissante (car $[3;+\infty[\subset[1;+\infty[$) et $f(x)\geq0$ : même sens ⇒ $h$ croissante ;
• sur $]-\infty;-1]$ : $f$ est décroissante et $f(x)\geq0$ : sens contraires ⇒ $h$ décroissante.

Correction 49

1. a) 💡 Méthode : $f(x)$ est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.

$D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-x+2\neq0\}$

$x\in D_f\iff x^2-x+2\neq0$

On étudie le dénominateur avec la forme canonique :

$x^2-x+2=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+2$

$=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}$

C’est la somme d’un carré ($\geq0$) et de $\dfrac{7}{4}>0$ : il est strictement positif, donc jamais nul.

$D_f=\mathbb{R}$

b) 💡 Méthode : pour montrer que $f(x)\leq M$ (ou $f(x)\geq m$), on étudie le signe de la différence $M-f(x)$ (ou $f(x)-m$) en réduisant au même dénominateur.

$1-f(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x^2-x+2}-\dfrac{x^2-x}{x^2-x+2}$

$=\dfrac{x^2-x+2-x^2+x}{x^2-x+2}$

$=\dfrac{2}{x^2-x+2}$

Numérateur $2>0$ et dénominateur $>0$ (question a) : $1-f(x)>0$, donc $f(x)<1$.

$f$ est majorée par $1$.

c) 💡 Rappel : $M$ est la valeur maximale de $f$ si deux conditions sont réunies : $f(x)\leq M$ pour tout $x$, et $M$ est atteinte ($M=f(a)$ pour un certain $a$). Même chose pour la valeur minimale.

Étape 1 : on calcule $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ :

$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2}$

$=\dfrac{-\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}$

$=-\dfrac{1}{7}$

Étape 2 : on montre que $f(x)\geq-\dfrac{1}{7}$ en étudiant le signe de $f(x)+\dfrac{1}{7}$ :

$f(x)+\dfrac{1}{7}=\dfrac{7(x^2-x)+(x^2-x+2)}{7(x^2-x+2)}$

$=\dfrac{8x^2-8x+2}{7(x^2-x+2)}$

$=\dfrac{2(4x^2-4x+1)}{7(x^2-x+2)}$

$=\dfrac{2(2x-1)^2}{7(x^2-x+2)}\geq0$

$f(x)\geq f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ pour tout $x$ : $-\dfrac{1}{7}$ est la valeur minimale de $f$, atteinte en $a=\dfrac{1}{2}$.

2. a) 💡 Méthode : $h(x)$ est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.

$D_h=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+2\neq0\}$

On résout la condition, équivalence après équivalence :

$x\in D_h\iff x+2\neq0$

$\iff x\neq-2$

$D_h=\mathbb{R}-\{-2\}$

b) 💡 Méthode : une fonction homographique $x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq0$) est définie sur $\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$ ; son sens de variation dépend du signe de $ad-bc$ :

si $ad-bc>0$ : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si $ad-bc<0$ : elle est décroissante sur chacun d’eux.

Étape 1 : on identifie les coefficients : $a=1$, $b=0$, $c=1$, $d=2$.

Étape 2 : on calcule $ad-bc$ :

$ad-bc=1\times2-0\times1$

$=2$

Étape 3 : $ad-bc>0$, donc $h$ est croissante sur $]-\infty;-2[$ et sur $]-2;+\infty[$.

c) 💡 Méthode (fonction composée) : si $u$ est monotone sur $I$ et $v$ monotone sur un intervalle $J$ contenant $u(I)$ :

même sens de variation ⇒ $v\circ u$ est croissante sur $I$ ; sens contraires ⇒ $v\circ u$ est décroissante sur $I$.

Étape 1 : on écrit $f$ comme une composée. Avec $u(x)=x^2-x$ : $f(x)=\dfrac{u(x)}{u(x)+2}=h\left(u(x)\right)$, donc $f=h\circ u$.

Étape 2 : variations de $u$ : $u(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}$, avec $a=1>0$ : $u$ est décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$ et croissante sur $\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

Étape 3 : où se trouvent les valeurs de $u$ ? $u(x)\geq-\dfrac{1}{4}>-2$, donc $u(x)\in]-2;+\infty[$, intervalle où $h$ est croissante.

Étape 4 : sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$ : $u$ décroissante et $h$ croissante : sens contraires ⇒ $f$ décroissante.

Sur $\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ : $u$ croissante et $h$ croissante : même sens ⇒ $f$ croissante.

[!] $f$ est décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$ et croissante sur $\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

Correction 50

1. 💡 Méthode : pour étudier les variations d’un trinôme $ax^2+bx+c$, on l’écrit sous la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ :

si $a>0$ : la fonction est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha;+\infty[$ (minimum $\beta$ en $\alpha$) ;

si $a<0$ : elle est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha;+\infty[$ (maximum $\beta$ en $\alpha$).

Étape 1 : on complète le carré pour obtenir la forme canonique :

$f(x)=x^2-6x$

$=(x^2-6x+9)-9$

$=(x-3)^2-9$

Étape 2 : on identifie $a=1$, $\alpha=3$ et $\beta=-9$ ; comme $a>0$ :

$f$ est décroissante sur $]-\infty;3]$ et croissante sur $[3;+\infty[$ ; minimum $f(3)=-9$.

2. 💡 Méthode : $g(x)$ est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.

$D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x-3\neq0\}$

On résout la condition, équivalence après équivalence :

$x\in D_g\iff x-3\neq0$

$\iff x\neq3$

$D_g=\mathbb{R}-\{3\}$

💡 Méthode : une fonction homographique $x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq0$) est définie sur $\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$ ; son sens de variation dépend du signe de $ad-bc$ :

si $ad-bc>0$ : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si $ad-bc<0$ : elle est décroissante sur chacun d’eux.

Étape 1 : on identifie les coefficients : $a=-2$, $b=0$, $c=1$, $d=-3$.

Étape 2 : on calcule $ad-bc$ :

$ad-bc=(-2)\times(-3)-0\times1$

$=6$

Étape 3 : $ad-bc>0$, donc $g$ est croissante sur $]-\infty;3[$ et sur $]3;+\infty[$.

3. On remplace $x$ par chaque valeur :

$f(0)=0$ ; $f(4)=16-24=-8$ ; $f(5)=25-30=-5$ ; $f(6)=36-36=0$

$g(0)=0$ ; $g(4)=\dfrac{-8}{1}=-8$ ; $g(5)=\dfrac{-10}{2}=-5$

Les courbes ont en commun les points $O(0;0)$, $B(4;-8)$ et $C(5;-5)$.

4. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.

$(C_f)$ : parabole de sommet $S(3;-9)$ ; $(C_g)$ : hyperbole de centre $(3;-2)$ car $g(x)=-2-\dfrac{6}{x-3}$.

5. 💡 Méthode (position relative) : on étudie le signe de $f(x)-g(x)$ : si $f(x)-g(x)\geq0$, $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$ ; si $f(x)-g(x)\leq0$, elle est en dessous ; si $f(x)=g(x)$, les courbes se coupent.

Graphiquement : $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$ (ou la coupe) pour $x\leq0$, pour $3<x\leq4$ et pour $x\geq5$.

Vérification par le calcul : on réduit au même dénominateur puis on factorise :

$f(x)-g(x)=x^2-6x+\dfrac{2x}{x-3}$

$=\dfrac{(x^2-6x)(x-3)+2x}{x-3}$

$=\dfrac{x\left[(x-6)(x-3)+2\right]}{x-3}$

$=\dfrac{x(x^2-9x+20)}{x-3}$

$=\dfrac{x(x-4)(x-5)}{x-3}$

[!] $S=]-\infty;0]\cup]3;4]\cup[5;+\infty[$

Correction 51

1. a) 💡 Méthode : $\sqrt{A(x)}$ n’existe que si $A(x)\geq0$ (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).

$D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x-1\geq0\}$

On résout la condition, équivalence après équivalence :

$x\in D_f\iff x-1\geq0$

$\iff x\geq1$

$D_f=[1;+\infty[$

💡 Méthode : $g(x)$ est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.

$D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+3\neq0\}$

On résout la condition, équivalence après équivalence :

$x\in D_g\iff x+3\neq0$

$\iff x\neq-3$

$D_g=\mathbb{R}-\{-3\}$

b) 💡 Méthode : $x\in D_{f\circ g}\iff x\in D_g$ et $g(x)\in D_f$, c’est-à-dire $x\neq-3$ et $g(x)\geq1$.

$g(x)\geq1\iff\dfrac{2x-1}{x+3}-1\geq0$

$\iff\dfrac{2x-1-(x+3)}{x+3}\geq0$

$\iff\dfrac{x-4}{x+3}\geq0$

$D_{f\circ g}=]-\infty;-3[\cup[4;+\infty[$

2. 💡 Méthode : si $u$ est croissante sur $I$ et $u(x)\geq0$, alors $x\mapsto\sqrt{u(x)}$ est croissante sur $I$ (car si $0\leq A<B$, alors $\sqrt{A}<\sqrt{B}$).

$u(x)=x-1$ est croissante et positive sur $[1;+\infty[$ :

$f$ est croissante sur $[1;+\infty[$.

💡 Méthode : une fonction homographique $x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq0$) est définie sur $\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$ ; son sens de variation dépend du signe de $ad-bc$ :

si $ad-bc>0$ : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si $ad-bc<0$ : elle est décroissante sur chacun d’eux.

Étape 1 : on identifie les coefficients : $a=2$, $b=-1$, $c=1$, $d=3$.

Étape 2 : on calcule $ad-bc$ :

$ad-bc=2\times3-(-1)\times1$

$=6+1$

$=7$

Étape 3 : $ad-bc>0$, donc $g$ est croissante sur $]-\infty;-3[$ et sur $]-3;+\infty[$.

3. 💡 Méthode (fonction composée) : si $u$ est monotone sur $I$ et $v$ monotone sur un intervalle $J$ contenant $u(I)$ :

même sens de variation ⇒ $v\circ u$ est croissante sur $I$ ; sens contraires ⇒ $v\circ u$ est décroissante sur $I$.

Sur $]-\infty;-3[$ : $g$ est croissante et $g(x)=2-\dfrac{7}{x+3}>2$ (car $x+3<0$), donc $g(x)\in[1;+\infty[$ où $f$ est croissante.

Même sens : $f\circ g$ est croissante sur $]-\infty;-3[$.

Sur $[4;+\infty[$ : $g$ est croissante et $g(x)\geq g(4)=1$ : $g(x)\in[1;+\infty[$ où $f$ est croissante.

Même sens : $f\circ g$ est croissante sur $[4;+\infty[$. (L’énoncé original indiquait « $[2,+\infty[$ » : coquille, car $f\circ g$ n’est pas définie sur $[2;4[$.)

4. Pour $x\in D_{f\circ g}$ :

$f\circ g(x)=f\left(g(x)\right)=\sqrt{g(x)-1}$

$=\sqrt{\dfrac{x-4}{x+3}}$

Correction 52

1. a) $f$ est une fonction polynôme : $D_f=\mathbb{R}$.

💡 Méthode : la fonction cube $x\mapsto x^3$ est croissante sur $\mathbb{R}$ ; multiplier par $\dfrac{1}{2}>0$ conserve le sens de variation.

Si $a<b$, alors $a^3<b^3$, donc $\dfrac{1}{2}a^3<\dfrac{1}{2}b^3$ : $f(a)<f(b)$.

b) 💡 Méthode : $\sqrt{A(x)}$ n’existe que si $A(x)\geq0$ (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).

$D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+3\geq0\}$

On résout la condition, équivalence après équivalence :

$x\in D_g\iff x+3\geq0$

$\iff x\geq-3$

$D_g=[-3;+\infty[$

$x\mapsto x+3$ est croissante et positive sur $D_g$, et la racine carrée est croissante : $g$ est croissante.

c) 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.

| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |

| $f(x)$ | $-4$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $4$ |

| $g(x)$ | $1$ | $\sqrt{2}$ | $\sqrt{3}$ | $2$ | $\sqrt{5}$ |

2. a) On transforme l’équation par équivalences :

$x^3-2\sqrt{x+3}=0\iff x^3=2\sqrt{x+3}$

$\iff\dfrac{1}{2}x^3=\sqrt{x+3}$

$\iff f(x)=g(x)$

💡 Les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de $C_f$ et $C_g$.

Les deux courbes se coupent en un seul point : $E$ admet une solution unique $\alpha$.

b) On compare $f$ et $g$ en $1$ et en $2$ :

$f(1)=\dfrac{1}{2}<g(1)=2$ ; $f(2)=4>g(2)=\sqrt{5}\approx2{,}24$

$C_f$ est sous $C_g$ en $1$ et au-dessus en $2$ : elles se coupent entre les deux, donc $1<\alpha<2$.

c) $F\iff f(x)>g(x)$ : on cherche où $C_f$ est strictement au-dessus de $C_g$ : c’est à droite de $\alpha$.

[!] $S=]\alpha;+\infty[$