Rappels
Méthode Ensemble de définition
Soit $f$ une fonction numérique : $D_f$ est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
- Polynôme : $D_f=\mathbb{R}$.
- Quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ : il faut $B(x)\neq0$.
- Racine $\sqrt{A(x)}$ : il faut $A(x)\geq0$.
Définition Parité (deux conditions)
1. $(\forall x\in D_f)$ : $-x\in D_f$ ;
2. paire : $f(-x)=f(x)$ ; impaire : $f(-x)=-f(x)$.
- Paire : $(C_f)$ symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Impaire : $(C_f)$ symétrique par rapport à l’origine $O$.
Propriété Variations : taux de variation
Pour $a\neq b$ dans $I$ :
$T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$
- $T>0$ : $f$ strictement croissante sur $I$ ;
- $T<0$ : $f$ strictement décroissante sur $I$ ;
- $T=0$ : $f$ constante sur $I$.
Fonction majorée, minorée, bornée
Définition Définitions
- majorée sur $I$ : $(\forall x\in I)$ $f(x)\leq M$ ;
- minorée sur $I$ : $(\forall x\in I)$ $f(x)\geq m$ ;
- bornée sur $I$ : $(\forall x\in I)$ $m\leq f(x)\leq M$.
- $f(a)$ valeur maximale sur $I$ : $a\in I$ et $(\forall x\in I)$ $f(x)\leq f(a)$.
- $f(b)$ valeur minimale sur $I$ : $b\in I$ et $(\forall x\in I)$ $f(x)\geq f(b)$.
[!] Une valeur maximale est un majorant atteint.
Comparaison de deux fonctions
Méthode Comparer $f$ et $g$ sur $I$
1. On calcule et on factorise $f(x)-g(x)$.
2. On étudie son signe.
3. $f(x)-g(x)\leq0$ $\iff$ $f(x)\leq g(x)$.
- $f\leq g$ sur $I$ $\iff$ $(C_f)$ au-dessous de $(C_g)$.
Éléments de symétrie (deux conditions)
Propriété Axe de symétrie $x=a$
1. $(\forall x\in D_f)$ : $2a-x\in D_f$ ;
2. $(\forall x\in D_f)$ : $f(2a-x)=f(x)$.
Propriété Centre de symétrie $\Omega(a;b)$
1. $(\forall x\in D_f)$ : $2a-x\in D_f$ ;
2. $(\forall x\in D_f)$ : $f(2a-x)+f(x)=2b$.
Fonction périodique
Définition Période $T>0$ (deux conditions)
1. $(\forall x\in D_f)$ : $x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ;
2. $(\forall x\in D_f)$ : $f(x+T)=f(x)$.
- $x\mapsto\cos(ax+b)$ et $x\mapsto\sin(ax+b)$ ($a\neq0$) : période $\dfrac{2\pi}{|a|}$.
Fonctions usuelles
Propriété Rappel : trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$
- $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
- Parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ et d’axe $x=\alpha$.
Propriété Rappel : homographique $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
- $D_f=\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.
- $\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ :
- $\Delta>0$ : strictement croissante sur chaque intervalle de $D_f$ ;
- $\Delta<0$ : strictement décroissante sur chaque intervalle de $D_f$.
- Hyperbole de centre $\Omega\left(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\right)$.
Propriété $x\mapsto ax^3$ ($a\neq0$)
- $D_f=\mathbb{R}$ et $f$ est impaire.
- $a>0$ : strictement croissante ; $a<0$ : strictement décroissante.
Propriété $x\mapsto\sqrt{x+a}$
- $D_f=[-a;+\infty[$.
- Strictement croissante sur $[-a;+\infty[$ ; demi-parabole d’origine $A(-a;0)$.
Composée de deux fonctions
Définition Définition
Si $(\forall x\in I)$ $f(x)\in J$ : $(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)$ pour $x\in I$.
Propriété Monotonie d’une composée
- $f$ et $g$ de même sens ⇒ $g\circ f$ croissante ;
- $f$ et $g$ de sens contraires ⇒ $g\circ f$ décroissante.
À retenir À retenir
- $D_f$ d’abord.
- Parité, axe, centre, période : deux conditions, chacune justifiée.
- Variations : signe du taux $T$.
- Homographique : signe du déterminant $\Delta=ad-bc$.