سلسلة تمارين مصححة Notions de logique — الأولى باك علوم تجريبية

Correction 1

💡 « et » : vraie si les deux sont vraies ; « ou » : vraie si au moins une est vraie ; « $A\Rightarrow B$ » : fausse seulement si $A$ vraie et $B$ fausse ; « $A\iff B$ » : vraie si $A$ et $B$ ont la même valeur.

a) $\sqrt{16}=4$ est vraie mais $3>\pi$ est fausse ($\pi\approx3{,}14$) :

[!] fausse.

b) « $2$ est pair » est vraie :

vraie (même si $9=3\times3$ n'est pas premier).

c) $2+2=5$ est fausse : une implication à prémisse fausse est vraie :

vraie.

d) $1<2$ est vraie mais $-1<-2$ est fausse :

[!] fausse.

e) $(-1)^2=1$ est vraie et $-1=1$ est fausse : valeurs différentes :

[!] fausse.

Correction 2

💡 Méthode : une proposition est soit vraie, soit fausse ; un énoncé dont la vérité dépend d’une variable n’est pas une proposition.

a) Proposition vraie : $3\times4=12$.

b) Pas une proposition : vraie pour $x=3$, fausse pour $x=0$.

c) Proposition fausse : $\sqrt{2}\approx1{,}414<1{,}5$.

d) Proposition vraie : les seuls diviseurs de $17$ sont $1$ et $17$.

Correction 3

💡 Méthode : « et » : vraie si les deux sont vraies ; « ou » : vraie si au moins une est vraie ; « $A\Rightarrow B$ » : fausse seulement si $A$ vraie et $B$ fausse ; « $A\iff B$ » : vraie si $A$ et $B$ ont la même valeur.

$P$ est vraie (V) et $Q$ est fausse (F). On lit la ligne « V , F » des tables :

| $P$ | $Q$ | $\overline{P}$ | $P\wedge Q$ | $P\vee Q$ |

| V | F | F | F | V |

| $P\Rightarrow Q$ | $Q\Rightarrow P$ | $P\iff Q$ |

| F | V | F |

• $P\Rightarrow Q$ est fausse : $P$ vraie et $Q$ fausse ;
• $Q\Rightarrow P$ est vraie : sa prémisse $Q$ est fausse.

Correction 4

💡 Méthode : on écrit les 4 cas possibles pour $(P;Q)$, on calcule la colonne $P\wedge Q$, puis la colonne de l’implication.

| $P$ | $Q$ | $P\wedge Q$ | $(P\wedge Q)\Rightarrow P$ |

| V | V | V | V |

| V | F | F | V |

| F | V | F | V |

| F | F | F | V |

Quand $P\wedge Q$ est vraie, $P$ est vraie ; sinon la prémisse est fausse.

La proposition est toujours vraie : c’est une loi logique

Correction 5

💡 Méthode : « $A\Rightarrow B$ » est vraie si, chaque fois que $A$ est vraie, $B$ l’est aussi ; pour la réciproque « $B\Rightarrow A$ », un contre-exemple suffit à la rendre fausse.

a) Si $x=3$, $x^2=9$ : vraie. Réciproque fausse : $x=-3$ donne $x^2=9$ et $x\neq3$.

b) Si $x>2$, alors $x>2>1$ : vraie. Réciproque fausse : $x=1{,}5$ vérifie $x>1$ mais pas $x>2$.

c) $x^2<0$ est toujours fausse : l’implication est vraie. Réciproque fausse : pour $x=5$, $x^2=25\geq0$.

Aucune réciproque n’est vraie : aucune équivalence

Correction 6

💡 Pour montrer qu'un « $\forall$ » est faux : un contre-exemple suffit. Pour montrer qu'un « $\exists$ » est vrai : un exemple suffit.

a) Pour $x=0$ : $0^2=0$, pas $>0$ :

[!] fausse.

b) $x=\sqrt{2}$ convient :

vraie.

c) $n^2-n=n(n-1)\geq0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ (si $n\geq1$, les deux facteurs sont positifs ; si $n=0$, c'est $0$) :

vraie.

d) $x^2+1\geq1>0$ : jamais nul :

[!] fausse.

e) Pour chaque $x$, on choisit $y=-x$ (le $y$ dépend de $x$) :

vraie.

f) Il faudrait un même $y$ pour tous les $x$ : avec $x=0$ on obtient $y=0$, puis avec $x=1$ : $1+0\neq0$.

[!] fausse : l'ordre des quantificateurs compte !

Correction 7

💡 Méthode : pour montrer qu’un « $\forall$ » est faux : un contre-exemple ; pour montrer qu’un « $\exists$ » est vrai : un exemple ; un « $\forall$ » vrai se démontre pour un $x$ quelconque.

a) Un carré est toujours positif : vraie.

b) $2^2=4<5<9=3^2$ : aucun entier n’a pour carré $5$ : fausse.

c) Contre-exemple $x=-1$ : $2x=-2<-1=x$ : fausse.

d) $x=-\dfrac{3}{2}$ convient : $2\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)+3=0$ : vraie.

Correction 8

💡 Méthode : « tout / pour tout » ⇒ $\forall$ ; « il existe » ⇒ $\exists$ ; « un unique » ⇒ $\exists!$.

a) $(\forall x\in\mathbb{R})\ x^2\geq0$ : vraie.

b) $(\exists n\in\mathbb{N})$ : $n$ est pair et premier. Vraie : $n=2$.

c) $(\exists!x\in\mathbb{R}^+)\ x^2=4$ : vraie ; les solutions de $x^2=4$ sont $2$ et $-2$, et seule $2$ est positive.

Correction 9

💡 Méthode : « $\exists!$ » demande deux preuves : l’existence (on trouve une solution) et l’unicité (deux solutions sont égales).

1. Existence : $x=3$ convient car $3\times3-7=2$.

Unicité : si $3x-7=2$ et $3y-7=2$, alors :

$3x-7=3y-7\iff3x=3y$

$\iff x=y$

$(\exists!x\in\mathbb{R})\ 3x-7=2$ est vraie

2. $1^2=1$ et $(-1)^2=1$ : il y a deux solutions distinctes.

[!] La proposition est fausse (pas d’unicité)

Correction 10

💡 Méthode : dans « $\forall n\ \exists m$ », $m$ peut dépendre de $n$ ; dans « $\exists m\ \forall n$ », le même $m$ doit convenir pour tous les $n$.

a) Pour chaque $n$, on prend $m=n+1>n$ : vraie.

b) Pour un $m$ donné, l’entier $n=m$ vérifie $m>m$, ce qui est faux : fausse.

[!] On ne permute pas $\forall$ et $\exists$

Correction 11

💡 Deux propositions sont équivalentes si elles ont la même colonne dans la table de vérité (V = vrai, F = faux).

1. Table :

| $P$ | $Q$ | $P\wedge Q$ | $\overline{P\wedge Q}$ | $\overline{P}$ | $\overline{Q}$ | $\overline{P}\vee\overline{Q}$ |

| V | V | V | F | F | F | F |

| V | F | F | V | F | V | V |

| F | V | F | V | V | F | V |

| F | F | F | V | V | V | V |

Les colonnes 4 et 7 sont identiques : c'est la loi de Morgan.

2. Table :

| $P$ | $Q$ | $P\Rightarrow Q$ | $\overline{P}$ | $\overline{P}\vee Q$ |

| V | V | V | F | V |

| V | F | F | F | F |

| F | V | V | V | V |

| F | F | V | V | V |

Les colonnes 3 et 5 sont identiques.

3. $\overline{P\Rightarrow Q}\iff\overline{\overline{P}\vee Q}\iff P\wedge\overline{Q}$ (loi de Morgan et $\overline{\overline{P}}=P$).

[!] La négation de « $P\Rightarrow Q$ » est « $P$ et $\overline{Q}$ ».

Correction 12

💡 Méthode : deux propositions sont équivalentes si elles ont la même colonne dans la table de vérité.

| $P$ | $Q$ | $P\vee Q$ | $\overline{P\vee Q}$ | $\overline{P}$ | $\overline{Q}$ | $\overline{P}\wedge\overline{Q}$ |

| V | V | V | F | F | F | F |

| V | F | V | F | F | V | F |

| F | V | V | F | V | F | F |

| F | F | F | V | V | V | V |

Les colonnes de $\overline{P\vee Q}$ et de $\overline{P}\wedge\overline{Q}$ sont identiques : la loi est démontrée

Correction 13

💡 Méthode : deux propositions sont équivalentes si elles ont la même colonne dans la table de vérité.

| $P$ | $Q$ | $P\Rightarrow Q$ | $\overline{Q}$ | $\overline{P}$ | $\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}$ |

| V | V | V | F | F | V |

| V | F | F | V | F | F |

| F | V | V | F | V | V |

| F | F | V | V | V | V |

Les colonnes 3 et 6 sont identiques : c’est la loi de la contraposée

Correction 14

💡 Méthode : deux propositions sont équivalentes si elles ont la même colonne dans la table de vérité.

| $P$ | $\overline{P}$ | $P\vee\overline{P}$ | $P\wedge\overline{P}$ |

| V | F | V | F |

| F | V | V | F |

• $P\vee\overline{P}$ est toujours vraie : c’est une loi logique (le tiers exclu) ;
• $P\wedge\overline{P}$ est toujours fausse : une proposition et sa négation ne sont jamais vraies ensemble.

C’est ce principe qu’utilise le raisonnement par l’absurde

Correction 15

💡 Méthode : on enchaîne les lois connues : Morgan, double négation, puis $\left(\overline{P}\vee Q\right)\iff\left(P\Rightarrow Q\right)$.

1. $\overline{P\wedge\overline{Q}}\iff\overline{P}\vee\overline{\overline{Q}}$ (Morgan)

$\iff\overline{P}\vee Q$ (double négation)

$\iff P\Rightarrow Q$ (définition de l’implication)

2. Par la loi de Morgan, « et » devient « ou » et chaque partie est niée :

« $x<0$ ou $x=1$ »

Correction 16

💡 Règles : $\forall$ devient $\exists$ ; $\exists$ devient $\forall$ ; « et » devient « ou » ; la négation de « $A\Rightarrow B$ » est « $A$ et $\overline{B}$ » ; « $<$ » devient « $\geq$ ».

a)

$(\exists x\in\mathbb{R})\ x^2+x+1\leq0$

b)

$(\forall n\in\mathbb{N})\ (n<5\ \vee\ n^2\geq20)$

c)

$(\exists x\in\mathbb{R})\ (x>1\ \wedge\ x^2\leq1)$

d)

$(\exists\varepsilon>0)(\forall n\in\mathbb{N})\ \dfrac{1}{n+1}\geq\varepsilon$

Correction 17

💡 Méthode : $\forall$ devient $\exists$ et $\exists$ devient $\forall$ ; on garde l’ensemble ; on nie la propriété ($<$ devient $\geq$, $=$ devient $\neq$, « et » devient « ou », « $A\Rightarrow B$ » devient « $A$ et $\overline{B}$ »).

a) Négation : $(\exists x\in\mathbb{R})\ x^2<0$. La proposition est vraie (un carré est positif).

b) Négation : $(\forall x\in\mathbb{R})\ 2x\neq1$. La proposition est vraie ($x=\dfrac{1}{2}$).

c) Négation : $(\exists n\in\mathbb{N})\ n<1$. La négation est vraie ($n=0$).

Une proposition et sa négation ont toujours des valeurs de vérité contraires

Correction 18

💡 Méthode : lois de Morgan : $\overline{A\wedge B}\iff\overline{A}\vee\overline{B}$ et $\overline{A\vee B}\iff\overline{A}\wedge\overline{B}$ ; et $\overline{A\Rightarrow B}\iff A\wedge\overline{B}$.

a) « $x\leq2$ ou $y>3$ »

b) « $x\neq0$ et $x\neq1$ »

c) « $x\geq1$ et $x^2<1$ »

[!] La négation d’une implication n’est pas une implication

Correction 19

💡 Méthode : $\forall$ devient $\exists$ et $\exists$ devient $\forall$ ; on garde l’ensemble ; on nie la propriété ($<$ devient $\geq$, $=$ devient $\neq$, « et » devient « ou », « $A\Rightarrow B$ » devient « $A$ et $\overline{B}$ »).

a) Négation :

$(\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\ y\leq x$

La proposition est vraie : pour chaque $x$, $y=x+1$ convient.

b) Négation :

$(\forall a\in\mathbb{R})(\exists x\in\mathbb{R})\ x^2<a$

La proposition est vraie : $a=0$ convient, car $x^2\geq0$ pour tout $x$.

Correction 20

💡 Méthode : $\forall$ devient $\exists$ et $\exists$ devient $\forall$ ; on garde l’ensemble ; on nie la propriété ($<$ devient $\geq$, $=$ devient $\neq$, « et » devient « ou », « $A\Rightarrow B$ » devient « $A$ et $\overline{B}$ »).

1. On change $\forall$ en $\exists$ et « $>$ » en « $\leq$ » :

$\overline{P}$ : $(\exists x\in\mathbb{R})\ x^2-2x+2\leq0$

2. Soit $x\in\mathbb{R}$ ; on fait apparaître un carré :

$x^2-2x+2=x^2-2x+1+1$

$=(x-1)^2+1$

Or $(x-1)^2\geq0$, donc $(x-1)^2+1\geq1>0$ : $P$ est vraie.

$\overline{P}$ est fausse

Correction 21

💡 On écrit une chaîne d'équivalences ($\iff$) qui aboutit à une proposition évidemment vraie (souvent : un carré est positif).

1. $a^2+b^2\geq2ab\iff a^2-2ab+b^2\geq0\iff(a-b)^2\geq0$, vraie.

2. Pour $x>0$, on peut multiplier par $x>0$ sans changer le sens :

$x+\dfrac{1}{x}\geq2\iff x^2+1\geq2x\iff(x-1)^2\geq0$, vraie.

3. $x^4+1>0$, donc : $\dfrac{x^2}{x^4+1}\leq\dfrac{1}{2}\iff2x^2\leq x^4+1\iff x^4-2x^2+1\geq0\iff(x^2-1)^2\geq0$, vraie.

[!] Attention : multiplier par un nombre positif conserve l'inégalité ; il faut le vérifier à chaque étape.

Correction 22

💡 Méthode : on part de l’inégalité à démontrer et on la transforme équivalence après équivalence (une ligne par étape) jusqu’à une proposition vraie évidente.

Soit $x\in\mathbb{R}$ :

$x^2+1\geq2x\iff x^2-2x+1\geq0$

$\iff(x-1)^2\geq0$

La dernière proposition est vraie (un carré est positif) :

$(\forall x\in\mathbb{R})\ x^2+1\geq2x$

Correction 23

💡 Méthode : on part de l’inégalité à démontrer et on la transforme équivalence après équivalence (une ligne par étape) jusqu’à une proposition vraie évidente.

Soient $a$ et $b$ deux réels :

$a^2+b^2\geq-2ab\iff a^2+2ab+b^2\geq0$

$\iff(a+b)^2\geq0$

La dernière proposition est vraie :

$(\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2)\ a^2+b^2\geq-2ab$

Correction 24

💡 Méthode : on part de l’inégalité à démontrer et on la transforme équivalence après équivalence (une ligne par étape) jusqu’à une proposition vraie évidente.

Soit $x\in\mathbb{R}$. On a $x^2+1>0$, donc on peut multiplier par $x^2+1$ sans changer le sens :

$\dfrac{x^2}{x^2+1}<1\iff x^2<x^2+1$

$\iff0<1$

La dernière proposition est vraie :

$(\forall x\in\mathbb{R})\ \dfrac{x^2}{x^2+1}<1$

Correction 25

💡 Méthode : on part de l’inégalité à démontrer et on la transforme équivalence après équivalence (une ligne par étape) jusqu’à une proposition vraie évidente.

Soient $a,b\geq0$ ; on écrit $a=\left(\sqrt{a}\right)^2$, $b=\left(\sqrt{b}\right)^2$ et $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ :

$\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\iff a+b-2\sqrt{a}\sqrt{b}\geq0$

$\iff\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq0$

La dernière proposition est vraie :

$(\forall a,b\in\mathbb{R}^+)\ \dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$

Correction 26

💡 Méthode : pour montrer qu’une proposition « $(\forall x)\ P(x)$ » est fausse, on donne un $x_0$ pour lequel $P(x_0)$ est fausse, et on fait le calcul.

Pour $x=\dfrac{1}{2}$ :

$x^2=\dfrac{1}{4}$

$<\dfrac{1}{2}=x$

$x=\dfrac{1}{2}$ est un contre-exemple : la proposition est fausse

Correction 27

💡 Méthode : pour montrer qu’une proposition « $(\forall x)\ P(x)$ » est fausse, on donne un $x_0$ pour lequel $P(x_0)$ est fausse, et on fait le calcul.

On teste quelques valeurs : $2^0=1>0$, $2^1=2>1$ ; pour $n=2$ :

$2^2=4$

$=2^2$

$4>4$ est fausse.

[!] $n=2$ est un contre-exemple : la proposition est fausse

Correction 28

💡 Méthode : pour montrer qu’une proposition « $(\forall x)\ P(x)$ » est fausse, on donne un $x_0$ pour lequel $P(x_0)$ est fausse, et on fait le calcul.

Pour $x=-3$ :

$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}$

$=3\neq-3$

La proposition est fausse. L’égalité correcte est :

$(\forall x\in\mathbb{R})\ \sqrt{x^2}=|x|$

Correction 29

💡 Méthode : pour montrer qu’une proposition « $(\forall x)\ P(x)$ » est fausse, on donne un $x_0$ pour lequel $P(x_0)$ est fausse, et on fait le calcul.

La négation est : $(\exists(a,b)\in\mathbb{R}^2)\ \left(a^2=b^2\ \wedge\ a\neq b\right)$. Pour $a=1$ et $b=-1$ :

$a^2=1=b^2$ et $a\neq b$.

Le couple $(1;-1)$ est un contre-exemple : la proposition est fausse

Correction 30

💡 Méthode : pour montrer qu’une proposition « $(\forall x)\ P(x)$ » est fausse, on donne un $x_0$ pour lequel $P(x_0)$ est fausse, et on fait le calcul.

Pour $x=3$ et $y=4$ :

$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}$

$=5$

Or $x+y=7$ et $5\neq7$.

[!] La racine d’une somme n’est pas la somme des racines

Correction 31

💡 Pour montrer $A\Rightarrow B$, on peut montrer sa contraposée $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ (souvent plus simple : on part d'une égalité).

1. Contraposée : si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair. Si $n=2k+1$ : $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$, impair.

Donc : $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair.

2. Contraposée : $(x+1)(y-1)=(x-1)(y+1)\Rightarrow x=y$.

$xy-x+y-1=xy+x-y-1\iff-x+y=x-y\iff2y=2x\iff x=y$.

L'implication est démontrée.

3. Contraposée : $x^2-2x=y^2-2y\Rightarrow x=y$. On a $(x^2-y^2)-2(x-y)=0$, soit $(x-y)(x+y-2)=0$.

Donc $x=y$ ou $x+y=2$ ; or $x\geq1$ et $y\geq1$, donc $x+y=2$ impose $x=y=1$.

[!] Dans tous les cas $x=y$ : l'implication est démontrée.

Correction 32

💡 Méthode : pour montrer « $P\Rightarrow Q$ », on montre sa contraposée « $\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}$ », qui lui est équivalente. On annonce le raisonnement.

Contraposée : si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.

Si $n$ est pair, il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k$ :

$n^2=(2k)^2$

$=4k^2$

$=2\left(2k^2\right)$

$n^2$ est pair : la contraposée est vraie, donc :

Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair

Correction 33

💡 Méthode : pour montrer « $P\Rightarrow Q$ », on montre sa contraposée « $\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}$ », qui lui est équivalente. On annonce le raisonnement.

Contraposée : si $n$ est divisible par $3$, alors $n^2$ est divisible par $3$.

Si $n=3k$ avec $k\in\mathbb{N}$ :

$n^2=9k^2$

$=3\left(3k^2\right)$

La contraposée est vraie, donc la proposition aussi

Correction 34

💡 Méthode : pour montrer « $P\Rightarrow Q$ », on montre sa contraposée « $\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}$ », qui lui est équivalente. On annonce le raisonnement.

Contraposée : si $\sqrt{x}=2$, alors $x=4$.

Si $\sqrt{x}=2$, on élève au carré (deux nombres positifs) :

$x=\left(\sqrt{x}\right)^2$

$=2^2$

$=4$

La contraposée est vraie : si $x\neq4$, alors $\sqrt{x}\neq2$

Correction 35

💡 Méthode : pour montrer « $P\Rightarrow Q$ », on montre sa contraposée « $\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}$ », qui lui est équivalente. On annonce le raisonnement.

Contraposée : si $x^2=y^2$, alors $x=y$.

$x^2=y^2\iff(x-y)(x+y)=0$

$\iff x=y$ ou $x+y=0$

• Si $x=y$ : c’est le résultat.
• Si $x+y=0$ avec $x\geq0$ et $y\geq0$ : alors $x=y=0$, donc $x=y$.

La contraposée est vraie : si $x\neq y$, alors $x^2\neq y^2$

Correction 36

💡 Par l'absurde : on suppose que la conclusion est fausse et on aboutit à une contradiction.

1. Supposons $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ avec $p,q\in\mathbb{N}^*$, fraction irréductible. Alors $p^2=2q^2$ : $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (raisonnement par contraposée) : $p=2p'$.

Alors $4p'^2=2q^2$, soit $q^2=2p'^2$ : $q$ est aussi pair. $p$ et $q$ sont pairs : la fraction n'est pas irréductible.

Contradiction : $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$.

2. Supposons qu'il existe $x$ tel que $\dfrac{x}{x^2+1}=1$ : alors $x^2-x+1=0$. Or $x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0$.

Contradiction : $\dfrac{x}{x^2+1}\neq1$ pour tout $x$.

3. Supposons $\sqrt{n^2+1}=m$ avec $m\in\mathbb{N}$. Comme $n\geq1$ : $n^2<n^2+1<n^2+2n+1$, soit $n^2<m^2<(n+1)^2$.

Donc $n<m<n+1$ : impossible pour un entier $m$ (il n'y a aucun entier entre deux entiers consécutifs).

[!] Donc $\sqrt{n^2+1}\notin\mathbb{N}$.

Correction 37

💡 Méthode : on suppose le contraire de ce qu’on veut montrer, et on arrive à une contradiction (une proposition fausse) ; donc la supposition est fausse.

Supposons qu’il existe $x\in\mathbb{R}$ tel que $\dfrac{x}{x^2+1}=1$ ($x^2+1>0$) :

$\dfrac{x}{x^2+1}=1\iff x=x^2+1$

$\iff x^2-x+1=0$

$\iff\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}=0$

Or $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\geq\dfrac{3}{4}>0$ : contradiction.

Aucun réel $x$ ne vérifie $\dfrac{x}{x^2+1}=1$

Correction 38

💡 Méthode : on suppose le contraire de ce qu’on veut montrer, et on arrive à une contradiction (une proposition fausse) ; donc la supposition est fausse.

Supposons que $1+\sqrt{2}=r$ avec $r\in\mathbb{Q}$. Alors :

$\sqrt{2}=r-1$

La différence de deux rationnels est un rationnel : $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$. Contradiction.

$1+\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$

Correction 39

💡 Méthode : on suppose le contraire de ce qu’on veut montrer, et on arrive à une contradiction (une proposition fausse) ; donc la supposition est fausse.

Supposons qu’il existe $x\neq0$ tel que $x+\dfrac{4}{x}=3$. On multiplie par $x\neq0$ :

$x+\dfrac{4}{x}=3\iff x^2-3x+4=0$

$\iff\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}=0$

Or $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0$ : contradiction.

$(\forall x\in\mathbb{R}^*)\ x+\dfrac{4}{x}\neq3$

Correction 40

💡 Méthode : on suppose le contraire de ce qu’on veut montrer, et on arrive à une contradiction (une proposition fausse) ; donc la supposition est fausse.

Supposons $a^2-b^2=2$, c’est-à-dire $(a-b)(a+b)=2$, avec $a+b>0$ donc $a-b>0$.

Comme $a-b\leq a+b$, la seule possibilité est $a-b=1$ et $a+b=2$.

Mais $(a+b)+(a-b)=2a$ est pair, alors que $1+2=3$ est impair : contradiction.

Il n’existe pas d’entiers naturels $a,b$ tels que $a^2-b^2=2$

Correction 41

💡 On sépare les cas qui couvrent toutes les possibilités (pair / impair ; $x\geq a$ / $x<a$…), et on traite chaque cas.

1. Si $n=2k$ : $n^2+n=4k^2+2k=2(2k^2+k)$, pair. Si $n=2k+1$ : $n^2+n=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)$, pair.

Dans les deux cas, $n^2+n$ est pair.

2. Les valeurs critiques sont $-2$ et $1$.

Si $x\geq1$ : $(x-1)+(x+2)=5\iff2x+1=5\iff x=2$ ($\geq1$ : accepté).

Si $-2\leq x<1$ : $(1-x)+(x+2)=5\iff3=5$ : impossible.

Si $x<-2$ : $(1-x)-(x+2)=5\iff-2x-1=5\iff x=-3$ ($<-2$ : accepté).

$S=\{-3;2\}$

3. Si $x\geq1$ : $x-1\leq x^2-x+1\iff x^2-2x+2\geq0\iff(x-1)^2+1\geq0$ : vrai.

Si $x<1$ : $1-x\leq x^2-x+1\iff x^2\geq0$ : vrai.

[!] Dans tous les cas, $|x-1|\leq x^2-x+1$.

Correction 42

💡 Méthode : on sépare en cas qui couvrent toutes les possibilités (pair / impair ; $x\geq a$ / $x<a$…), et on traite chaque cas sur sa propre ligne.

• Cas 1 : $n$ pair, $n=2k$ :

$n^2+n+1=4k^2+2k+1$

$=2\left(2k^2+k\right)+1$

• Cas 2 : $n$ impair, $n=2k+1$ :

$n^2+n+1=4k^2+4k+1+2k+1+1$

$=2\left(2k^2+3k+1\right)+1$

Dans les deux cas, $n^2+n+1$ est impair

Correction 43

💡 Méthode : on sépare en cas qui couvrent toutes les possibilités (pair / impair ; $x\geq a$ / $x<a$…), et on traite chaque cas sur sa propre ligne.

• Cas 1 : $x\geq2$, alors $|x-2|=x-2$ : $x-2=3\iff x=5$ ; et $5\geq2$ ✔.
• Cas 2 : $x<2$, alors $|x-2|=2-x$ : $2-x=3\iff x=-1$ ; et $-1<2$ ✔.

$S=\{-1;5\}$

Correction 44

💡 Méthode : on sépare en cas qui couvrent toutes les possibilités (pair / impair ; $x\geq a$ / $x<a$…), et on traite chaque cas sur sa propre ligne.

• Cas 1 : $x\geq\dfrac{1}{2}$ : $2x-1=x+1\iff x=2$ ; et $2\geq\dfrac{1}{2}$ ✔.
• Cas 2 : $x<\dfrac{1}{2}$ : $-(2x-1)=x+1\iff-3x=0\iff x=0$ ; et $0<\dfrac{1}{2}$ ✔.

$S=\{0;2\}$

💡 On vérifie toujours que la solution trouvée appartient à l’intervalle du cas.

Correction 45

💡 Méthode : on sépare en cas qui couvrent toutes les possibilités (pair / impair ; $x\geq a$ / $x<a$…), et on traite chaque cas sur sa propre ligne.

• Cas 1 : $x\geq1$ : $|x-1|+|x+1|=(x-1)+(x+1)=2x\geq2$ ✔.
• Cas 2 : $-1\leq x<1$ : $|x-1|+|x+1|=(1-x)+(x+1)=2\geq2$ ✔.
• Cas 3 : $x<-1$ : $|x-1|+|x+1|=(1-x)-(x+1)=-2x>2$ ✔.

$(\forall x\in\mathbb{R})\ |x-1|+|x+1|\geq2$

Correction 46

💡 Récurrence : 1) initialisation au premier rang ; 2) hérédité : on suppose la propriété vraie au rang $n$ et on la démontre au rang $n+1$.

1. Rang $1$ : $1=\dfrac{1\times2\times3}{6}$. Hérédité : $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}$.

Or $2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$ : on obtient $\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$, la formule au rang $n+1$.

2. Rang $0$ : $7^0-1=0=6\times0$. Hérédité : si $7^n=6k+1$, alors $7^{n+1}-1=7(6k+1)-1=42k+6=6(7k+1)$.

$7^n-1$ est divisible par $6$ pour tout $n$.

3. Rang $4$ : $2^4=16\geq4^2=16$. Hérédité : si $2^n\geq n^2$ avec $n\geq4$, alors $2^{n+1}=2\times2^n\geq2n^2$.

Il suffit que $2n^2\geq(n+1)^2$, soit $n^2-2n-1\geq0$, c'est-à-dire $(n-1)^2\geq2$ : vrai car $n-1\geq3$.

[!] Donc $2^n\geq n^2$ pour tout $n\geq4$.

Correction 47

💡 Méthode : 1. Initialisation : on vérifie $P(n_0)$ ; 2. Hérédité : on suppose $P(n)$ vraie et on montre $P(n+1)$ en utilisant l’hypothèse ; 3. Conclusion.

Initialisation : $n=0$ : $2^0=1\geq0+1$ ✔.

Hérédité : on suppose $2^n\geq n+1$ ; alors :

$2^{n+1}=2\times2^n$

$\geq2(n+1)$

$=2n+2$

$\geq n+2$

C’est la propriété au rang $n+1$ ✔.

$(\forall n\in\mathbb{N})\ 2^n\geq n+1$

Correction 48

💡 Méthode : 1. Initialisation : on vérifie $P(n_0)$ ; 2. Hérédité : on suppose $P(n)$ vraie et on montre $P(n+1)$ en utilisant l’hypothèse ; 3. Conclusion.

Initialisation : $n=1$ : $1=1^2$ ✔.

Hérédité : on suppose $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ ; le terme suivant est $2(n+1)-1=2n+1$ :

$1+3+\cdots+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1$

$=(n+1)^2$

C’est la formule au rang $n+1$ ✔.

$(\forall n\in\mathbb{N}^*)\ 1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$

Correction 49

💡 Méthode : 1. Initialisation : on vérifie $P(n_0)$ ; 2. Hérédité : on suppose $P(n)$ vraie et on montre $P(n+1)$ en utilisant l’hypothèse ; 3. Conclusion.

Initialisation : $n=0$ : $3^0-1=0$ est pair ✔.

Hérédité : on suppose $3^n-1=2k$ avec $k\in\mathbb{N}$ ; alors :

$3^{n+1}-1=3\times3^n-1$

$=3\left(3^n-1\right)+2$

$=6k+2$

$=2(3k+1)$

$3^{n+1}-1$ est pair ✔.

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^n-1$ est pair

Correction 50

💡 Méthode : 1. Initialisation : on vérifie $P(n_0)$ ; 2. Hérédité : on suppose $P(n)$ vraie et on montre $P(n+1)$ en utilisant l’hypothèse ; 3. Conclusion.

1. Initialisation : $u_0=1>0$ ✔. Hérédité : si $u_n>0$, alors $u_n+1>0$ et le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif : $u_{n+1}>0$ ✔.

$(\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0$

2. Initialisation : $u_0=1=\dfrac{1}{0+1}$ ✔.

Hérédité : on suppose $u_n=\dfrac{1}{n+1}$ ; alors :

$u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{1}{n+1}+1}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{n+2}{n+1}}$

$=\dfrac{1}{n+2}$

C’est la formule au rang $n+1$ ✔.

$(\forall n\in\mathbb{N})\ u_n=\dfrac{1}{n+1}$

Correction 51

1. $x^2+2\geq2>0$ pour tout $x$ : le dénominateur ne s'annule jamais.

$D_f=\mathbb{R}$

2. $x^2+2>0$, donc : $f(x)\leq1\iff2x+1\leq x^2+2\iff x^2-2x+1\geq0\iff(x-1)^2\geq0$ : vrai.

3. Supposons $f(x)=1$ avec $x\neq1$ : alors $2x+1=x^2+2$, soit $(x-1)^2=0$, donc $x=1$ : contradiction.

$f(x)\neq1$ pour $x\neq1$ (et $f(1)=1$ : $1$ est la valeur maximale de $f$).

4. Contraposée : $f(a)=f(b)\Rightarrow(a=b$ ou $2ab+a+b=4)$.

$(2a+1)(b^2+2)=(2b+1)(a^2+2)\iff2ab^2+4a+b^2=2a^2b+4b+a^2\iff2ab(b-a)+4(a-b)+(b^2-a^2)=0$.

En factorisant par $a-b$ : $(a-b)(-2ab+4-a-b)=0$, donc $a=b$ ou $2ab+a+b=4$.

L'implication est démontrée par contraposée.

5.

$\overline{P}$ : $(\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\leq1$

[!] D'après la question 2, $\overline{P}$ est vraie, donc $P$ est fausse.

Correction 52

1. Rang $0$ : $0\leq u_0=0<2$. Hérédité : si $0\leq u_n<2$, alors $2\leq u_n+2<4$, donc $\sqrt{2}\leq u_{n+1}<2$ (la racine carrée est croissante).

Donc $0\leq u_{n+1}<2$ : la propriété est vraie pour tout $n$.

2. a) 💡 On multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{u_n+2}+u_n$ (non nulle car $\sqrt{u_n+2}>0$).

$u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n+2}-u_n=\dfrac{(u_n+2)-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{(2-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}$ (car $-u^2+u+2=(2-u)(1+u)$).

b) D'après 1 : $2-u_n>0$, $1+u_n>0$ et le dénominateur est $>0$.

Donc $u_{n+1}-u_n>0$.

3. a) $2-u_{n+1}=2-\sqrt{u_n+2}=\dfrac{4-(u_n+2)}{2+\sqrt{u_n+2}}=\dfrac{2-u_n}{2+\sqrt{u_n+2}}$.

Or $2+\sqrt{u_n+2}\geq2$ et $2-u_n>0$, donc $2-u_{n+1}\leq\dfrac{2-u_n}{2}$.

b) Rang $0$ : $2-u_0=2\leq\dfrac{2}{1}$. Hérédité : $2-u_{n+1}\leq\dfrac{1}{2}(2-u_n)\leq\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{2^n}=\dfrac{2}{2^{n+1}}$.

[!] $(\forall n\in\mathbb{N})\ 2-u_n\leq\dfrac{2}{2^n}$ : les termes $u_n$ se rapprochent de $2$.

Correction 53

1. 💡 Tout entier s'écrit $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$ : on étudie ces trois cas.

Si $n=3k$ : $n$ est multiple de $3$. Si $n=3k+1$ : $n+2=3k+3=3(k+1)$. Si $n=3k+2$ : $n+1=3(k+1)$.

Dans chaque cas, un des trois facteurs est multiple de $3$ : le produit est divisible par $3$.

2. $n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)$ : produit de trois entiers consécutifs (pour $n\geq1$ ; pour $n=0$ il vaut $0$).

Il est divisible par $3$ (question 1 appliquée à $n-1$) et par $2$ (deux entiers consécutifs). Comme $2$ et $3$ sont premiers entre eux :

$n^3-n$ est divisible par $6$.

3. Rang $0$ : $0$ est divisible par $3$. Hérédité : $(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=(n^3-n)+3(n^2+n)$ : somme de deux multiples de $3$.

4. Supposons $n^3-n=2027$. Alors $6$ divise $2027$ (question 2). Or $2027$ est impair : contradiction.

[!] L'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{N}$.

Correction 54

1. 💡 Une proposition « $\forall$ » est vraie si elle est vraie pour tous les éléments ; une proposition « $\exists$ » est vraie s'il existe au moins un élément qui convient.

$P$ : pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2-2x+1=(x-1)^2\geq0$ (un carré est positif).

$P$ est vraie.

$Q$ : pour $n=1$, $\dfrac{n+1}{2}=\dfrac{2}{2}=1\in\mathbb{N}$.

$Q$ est vraie.

$R$ : $\sqrt{2}\approx1{,}41<1{,}5$, donc la prémisse $\sqrt{2}>\dfrac{3}{2}$ est fausse.

💡 Une implication $A\Rightarrow B$ est fausse uniquement quand $A$ est vraie et $B$ fausse. Si $A$ est fausse, $A\Rightarrow B$ est vraie.

$R$ est vraie (même si $\pi\notin\mathbb{Z}$).

2. a) 💡 Pour nier : on échange $\forall$ et $\exists$, et on nie la propriété finale.

$\overline{S}$ : $(\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\ :\ y^2\neq x$

b) Pour $x=-1$ : pour tout $y\in\mathbb{R}$, $y^2\geq0>-1$, donc $y^2\neq-1$. Ainsi $\overline{S}$ est vraie.

[!] $S$ est fausse ($x=-1$ est un contre-exemple).

3. 💡 La contraposée de « $A\Rightarrow B$ » est « $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ » ; elles sont équivalentes.

On montre : $\dfrac{2x}{x^2+1}=1\Rightarrow x=1$.

Si $\dfrac{2x}{x^2+1}=1$, alors $2x=x^2+1$ (car $x^2+1\neq0$), donc $x^2-2x+1=0$, soit $(x-1)^2=0$, d'où $x=1$.

[!] Par contraposée : $x\neq1\Rightarrow\dfrac{2x}{x^2+1}\neq1$.

Correction 55

1. 💡 On transforme l'inégalité par des équivalences jusqu'à obtenir une inégalité évidemment vraie.

Soit $x\in\mathbb{R}^+$ (donc $\sqrt{x}$ existe et $x=(\sqrt{x})^2$) :

$\dfrac{x+1}{2}\geq\sqrt{x}\iff x+1\geq2\sqrt{x}\iff(\sqrt{x})^2-2\sqrt{x}+1\geq0\iff(\sqrt{x}-1)^2\geq0$

La dernière inégalité est vraie, donc $(\forall x\in\mathbb{R}^+)\ \dfrac{x+1}{2}\geq\sqrt{x}$.

2. 💡 Par l'absurde : on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction.

Supposons que $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$. Les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :

$\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=5\iff2+2\sqrt{6}+3=5\iff2\sqrt{6}=0$, ce qui est absurde car $\sqrt{6}>0$.

Donc $\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}$.

3. 💡 Récurrence : initialisation (vérifier pour le premier entier), puis hérédité (si c'est vrai pour $n$, c'est vrai pour $n+1$).

Initialisation : pour $n=0$, $1=(0+1)^2$ : vrai.

Hérédité : supposons $1+3+\cdots+(2n+1)=(n+1)^2$ pour un $n\in\mathbb{N}$. Alors :

$1+3+\cdots+(2n+1)+(2n+3)=(n+1)^2+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2$

[!] Donc $(\forall n\in\mathbb{N})\ 1+3+5+\cdots+(2n+1)=(n+1)^2$.

4. Initialisation : pour $n=0$, $4^0-1=0=3\times0$ : divisible par $3$.

Hérédité : supposons $4^n-1=3k$ avec $k\in\mathbb{N}$, c'est-à-dire $4^n=3k+1$. Alors :

$4^{n+1}-1=4\times4^n-1=4(3k+1)-1=12k+3=3(4k+1)$

[!] Donc pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4^n-1$ est divisible par $3$.

Correction 56

1. 💡 Contraposée : on montre que $\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{y}}{y+\sqrt{y}+1}\Rightarrow(x=y$ ou $xy=1)$.

On pose $a=\sqrt{x}$ et $b=\sqrt{y}$ (donc $x=a^2$, $y=b^2$). L'égalité s'écrit $\dfrac{a}{a^2+a+1}=\dfrac{b}{b^2+b+1}$.

Produit en croix : $a(b^2+b+1)=b(a^2+a+1)$, soit $ab^2+ab+a=a^2b+ab+b$.

Donc $ab^2-a^2b+a-b=0$, soit $ab(b-a)+(a-b)=0$, c'est-à-dire $(a-b)(1-ab)=0$.

D'où $a=b$, soit $x=y$ ; ou $ab=1$, soit $\sqrt{xy}=1$, c'est-à-dire $xy=1$.

[!] Par contraposée, l'implication demandée est vraie.

2. Initialisation : pour $n=1$ : $1(3\times1+1)=4$ et $1\times(1+1)^2=4$ : vrai.

Hérédité : supposons $1(3\times1+1)+\cdots+n(3n+1)=n(n+1)^2$. En ajoutant le terme suivant $(n+1)(3n+4)$ :

$n(n+1)^2+(n+1)(3n+4)=(n+1)\left[n(n+1)+3n+4\right]=(n+1)(n^2+4n+4)=(n+1)(n+2)^2$

[!] C'est la formule au rang $n+1$ : elle est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.

Correction 57

1. 💡 Par l'absurde : on suppose la conclusion fausse, c'est-à-dire $a\neq0$ ou $b\neq0$.

Supposons $a\neq0$ : comme $a\geq0$, on a $a>0$, et comme $b\geq0$ : $a+b\geq a>0$, ce qui contredit $a+b=0$.

De même, $b\neq0$ conduit à une contradiction.

Donc $a=0$ et $b=0$.

2. a) 💡 On fait apparaître une somme de deux carrés (positifs), puis on applique la question 1.

$x^2-2x+1+y^2+4y+4=0\iff(x-1)^2+(y+2)^2=0$ (car $1+4=5$).

Avec $a=(x-1)^2\geq0$ et $b=(y+2)^2\geq0$ : $(x-1)^2=0$ et $(y+2)^2=0$.

$S=\{(1;-2)\}$

b) $\sqrt{x^2-4}\geq0$ et $\sqrt{y^2+2}\geq0$, donc (question 1) : $\sqrt{x^2-4}=0$ et $\sqrt{y^2+2}=0$.

Or $y^2+2\geq2>0$, donc $\sqrt{y^2+2}\neq0$ : impossible.

$S=\varnothing$

Correction 58

1. 💡 Négation : on échange $\forall$ et $\exists$, et on nie la propriété finale ; la négation de « $A\Rightarrow B$ » est « $A$ et $\overline{B}$ ».

$(\overline{P})$ : $\exists x\in\mathbb{R}\ ;\ \forall k\in\mathbb{Z}\ :\ k>x$ ou $x\geq k+1$.

$(\overline{Q})$ : $\exists(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\ ;\ \alpha-\beta>1$ et $\forall N\in\mathbb{Z}\ :\ N\leq\alpha$ ou $N\geq\beta$.

2. 💡 Contraposée : on montre $\dfrac{n}{3}\notin\mathbb{N}\Rightarrow\dfrac{n^2}{3}\notin\mathbb{N}$, c'est-à-dire : si $n$ n'est pas multiple de $3$, alors $n^2$ non plus.

Si $n=3k+1$ : $n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$, qui n'est pas multiple de $3$.

Si $n=3k+2$ : $n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$, qui n'est pas multiple de $3$.

Par contraposée : $\dfrac{n^2}{3}\in\mathbb{N}\Rightarrow\dfrac{n}{3}\in\mathbb{N}$.

3. Supposons $\sqrt{3}\in\mathbb{Q}$ : $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$ avec $p,q\in\mathbb{N}^*$ et $\dfrac{p}{q}$ irréductible. Alors $p^2=3q^2$.

Donc $\dfrac{p^2}{3}\in\mathbb{N}$, et d'après 2 : $p=3p'$. Alors $9p'^2=3q^2$, soit $q^2=3p'^2$, donc (de même) $q$ est multiple de $3$.

$p$ et $q$ sont tous deux multiples de $3$ : absurde (fraction irréductible). Donc $\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$.

4. Initialisation : pour $n=2$ : $q+q^2=q(1+q)$ et $\dfrac{q^2-1}{q-1}\times q=(q+1)q$ : vrai.

Hérédité : supposons $q+\cdots+q^n=\dfrac{q^n-1}{q-1}\times q$. Alors :

$q+\cdots+q^n+q^{n+1}=\dfrac{q^{n+1}-q+q^{n+2}-q^{n+1}}{q-1}=\dfrac{q^{n+2}-q}{q-1}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\times q$

[!] La formule est vraie pour tout $n\geq2$.