خطاطة ذهنية «Notions de logique» لتلاميذ الأولى باك علوم تجريبية بالفرنسية والعربية: Propositions, quantificateurs et raisonnements. Carte mentale Notions de logique — 1ère année Bac sciences expérimentales.
À retenir : la négation de $P\Rightarrow Q$ est $P\wedge\neg Q$
Propositions
- Vraie (V) ou fausse (F)
- $P\wedge Q$ : les deux vraies
- $P\vee Q$ : au moins une vraie
[!] $P\Rightarrow Q$ fausse seulement si $P$ V et $Q$ F
Lois logiques
- $\neg(P\wedge Q)\iff\neg P\vee\neg Q$
- $\neg(P\vee Q)\iff\neg P\wedge\neg Q$
$(P\Rightarrow Q)\iff(\neg Q\Rightarrow\neg P)$
Quantificateurs
- $\forall$ : pour tout
- $\exists$ : il existe au moins un
- $\exists!$ : il existe un unique
[!] L'ordre de $\forall$ et $\exists$ compte
Négation
- $\forall\leftrightarrow\exists$
- « et » $\leftrightarrow$ « ou »
- $<\ \leftrightarrow\ \geq$
Négation de $(\forall x)\ P(x)$ : $(\exists x)$ non $P(x)$
Équivalences successives
- Transformer par des $\iff$
- Arriver à un carré $\geq0$
$a^2+b^2\geq2ab\iff(a-b)^2\geq0$
Contraposée et absurde
- Contraposée : montrer $\neg Q\Rightarrow\neg P$
- Absurde : supposer le contraire, trouver une contradiction
$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$
Disjonction des cas
- $n$ pair ou impair
- $x\geq a$ ou $x<a$
- Contre-exemple pour nier un $\forall$
Récurrence
- Initialisation : $P(n_0)$
- Hérédité : $P(n)\Rightarrow P(n+1)$
[!] Alors $P(n)$ vraie pour tout $n\geq n_0$
أحفظ : نفي $P\Rightarrow Q$ هو $P\wedge\neg Q$
العبارات
- صحيحة (V) أو خاطئة (F)
- $P\wedge Q$ : الاثنتان صحيحتان
- $P\vee Q$ : واحدة على الأقل صحيحة
[!] $P\Rightarrow Q$ خاطئة فقط إذا كانت $P$ ص و $Q$ خ
قوانين منطقية
- $\neg(P\wedge Q)\iff\neg P\vee\neg Q$
- $\neg(P\vee Q)\iff\neg P\wedge\neg Q$
$(P\Rightarrow Q)\iff(\neg Q\Rightarrow\neg P)$
المكممات
- $\forall$ : لكل
- $\exists$ : يوجد على الأقل
- $\exists!$ : يوجد وحيد
[!] ترتيب $\forall$ و $\exists$ مهم
النفي
- $\forall\leftrightarrow\exists$
- « و » $\leftrightarrow$ « أو »
- $<\ \leftrightarrow\ \geq$
نفي $(\forall x)\ P(x)$ : $(\exists x)$ نفي $P(x)$
التكافؤات المتتالية
- نحوّل بتكافؤات $\iff$
- نصل إلى مربع $\geq0$
$a^2+b^2\geq2ab\iff(a-b)^2\geq0$
المضاد للعكس والخلف
- المضاد للعكس : نثبت $\neg Q\Rightarrow\neg P$
- الخلف : نفترض العكس ونجد تناقضاً
$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$
فصل الحالات
- $n$ زوجي أو فردي
- $x\geq a$ أو $x<a$
- مثال مضاد لنفي $\forall$
الترجع
- التحقق : $P(n_0)$
- الوراثة : $P(n)\Rightarrow P(n+1)$
[!] إذن $P(n)$ صحيحة لكل $n\geq n_0$