Les équations trigonométriques élémentaires
Théorème Équation $\cos x=a$
- Si $a<-1$ ou $a>1$ : pas de solution, $S=\emptyset$.
- Si $-1\leq a\leq1$ : il existe un unique $\alpha\in[0;\pi]$ tel que $\cos\alpha=a$, et :
$\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$ ; $k\in\mathbb{Z}$
Exemple
$\cos x=\dfrac{1}{2}\iff\cos x=\cos\dfrac{\pi}{3}$, donc $S=\left\{\dfrac{\pi}{3}+2k\pi;-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi/k\in\mathbb{Z}\right\}$.
$\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\iff\cos x=\cos\dfrac{3\pi}{4}$, donc $S=\left\{\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi;-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi/k\in\mathbb{Z}\right\}$.
$\cos x=2$ : $S=\emptyset$ car $2>1$.
Théorème Équation $\sin x=a$
- Si $a<-1$ ou $a>1$ : $S=\emptyset$.
- Si $-1\leq a\leq1$ : il existe un unique $\alpha\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin\alpha=a$, et :
$\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$ ; $k\in\mathbb{Z}$
Exemple
$\sin x=\dfrac{1}{2}\iff\sin x=\sin\dfrac{\pi}{6}$, donc $S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+2k\pi;\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi/k\in\mathbb{Z}\right\}$.
$2\sin x+\sqrt{3}=0\iff\sin x=\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$, donc $S=\left\{-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi;\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi/k\in\mathbb{Z}\right\}$.
Théorème Équation $\tan x=a$
Elle est définie pour $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$. Pour tout réel $a$, il existe un unique $\alpha\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $\tan\alpha=a$, et :
$\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi$ ; $k\in\mathbb{Z}$
Exemple
$4\tan x-4=0\iff\tan x=\tan\dfrac{\pi}{4}$, donc $S=\left\{\dfrac{\pi}{4}+k\pi/k\in\mathbb{Z}\right\}$.
Résolution dans un intervalle
Méthode
On résout d’abord dans $\mathbb{R}$, puis on cherche les entiers $k$ pour lesquels la solution appartient à l’intervalle.
Exemple Résoudre $\cos2x=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ dans $]-\pi;\pi]$
$2x=x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $2x=-x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$
$x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}$
- $-\pi<-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\leq\pi$ donne $k=0$ : $x=-\dfrac{\pi}{3}$.
- $-\pi<\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\leq\pi$ donne $k\in\{-1;0;1\}$ : $x=-\dfrac{5\pi}{9}$, $\dfrac{\pi}{9}$, $\dfrac{7\pi}{9}$.
$S=\left\{-\dfrac{5\pi}{9};-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{9};\dfrac{7\pi}{9}\right\}$
Méthodes
Méthode Se ramener à une équation élémentaire
$\cos a=\sin b\iff\cos a=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-b\right)$ ; $\sin a=\cos b\iff\sin a=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-b\right)$
$\cos a=-\cos b\iff\cos a=\cos(\pi-b)$ ; $\sin a=-\sin b\iff\sin a=\sin(-b)$
Méthode Changement de variable
On pose $X=\cos x$ (ou $X=\sin x$) pour obtenir une équation polynomiale en $X$ ; on n’oublie pas de revenir à la variable $x$.
Exemple Résoudre $2\cos^2x-\cos x-1=0$ dans $[0;2\pi[$
On pose $X=\cos x$ : $2X^2-X-1=0$, $\Delta=9$, donc $X=1$ ou $X=-\dfrac{1}{2}$.
$\cos x=1\iff x=0$ ; $\cos x=-\dfrac{1}{2}\iff x=\dfrac{2\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{4\pi}{3}$ (dans $[0;2\pi[$).
$S=\left\{0;\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{4\pi}{3}\right\}$
Les inéquations trigonométriques élémentaires
Méthode
On résout dans un intervalle donné en lisant sur le cercle trigonométrique l’arc formé par les points $M(x)$ qui vérifient l’inéquation.
Exemple $\sin x\geq\dfrac{1}{2}$ dans $[0;2\pi]$
$\sin\dfrac{\pi}{6}=\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ ; les points d’ordonnée $\geq\dfrac{1}{2}$ forment l’arc supérieur :
$S=\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right]$
Exemple $\cos x\leq\dfrac{1}{2}$ dans $]-\pi;\pi]$
$\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ ; les points d’abscisse $\leq\dfrac{1}{2}$ sont à gauche :
$S=\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$
Exemple
$\cos x\geq\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $]-\pi;\pi]$ : $S=\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right]$.
$\tan x\geq1$ dans $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ : $S=\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right[$.
$\sin x\geq-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $[0;2\pi]$ : $S=\left[0;\dfrac{5\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4};2\pi\right]$.
Erreur fréquente
Ne pas oublier les deux familles de solutions pour $\cos$ et $\sin$, et la période $k\pi$ (pas $2k\pi$) pour $\tan$.
À retenir
- $\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi$ ; $\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$.
- $\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi$.
- Inéquations : lire l’arc solution sur le cercle trigonométrique, dans l’intervalle demandé.