Le radian
Définition
Le radian (rad) est la mesure de l’angle au centre qui intercepte, sur un cercle de rayon $r$, un arc de longueur $r$.
$\pi\,\operatorname{rad}=180^\circ$
Propriété Conversion
Si $x$ est la mesure en degrés et $\alpha$ la mesure en radians d’un même angle :
$\dfrac{x}{180}=\dfrac{\alpha}{\pi}$
Longueur d’un arc de rayon $r$ et d’angle $\alpha$ (en rad) : $\ell=r\alpha$.
Exemple
| Degrés | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $120^\circ$ | $150^\circ$ | $180^\circ$ |
| Radians | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ | $\pi$ |
Cercle trigonométrique et abscisses curvilignes
Définition
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. Le cercle trigonométrique est le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$, de rayon $1$, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre), d’origine $I(1;0)$.
Définition Abscisses curvilignes
Si $x$ est une abscisse curviligne d’un point $M$ de $(\mathcal{C})$, alors toutes ses abscisses curvilignes sont :
$x+2k\pi$ ; $k\in\mathbb{Z}$
L’unique abscisse curviligne de $M$ appartenant à $]-\pi;\pi]$ est l’abscisse curviligne principale.
Exemple Abscisse principale de $\dfrac{29\pi}{4}$
$\dfrac{29\pi}{4}=\dfrac{32\pi-3\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{4}+8\pi=-\dfrac{3\pi}{4}+4\times2\pi$
L’abscisse principale est $-\dfrac{3\pi}{4}$
Angle orienté de deux vecteurs
Définition
Soient $M$ et $N$ deux points de $(\mathcal{C})$ d’abscisses curvilignes $x$ et $y$. Toute mesure de l’angle orienté $\left(\overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON}\right)$ s’écrit :
$y-x+2k\pi$ ; $k\in\mathbb{Z}$
La mesure appartenant à $]-\pi;\pi]$ est la mesure principale.
Propriété Relation de Chasles
$\left(\vec{u};\vec{v}\right)+\left(\vec{v};\vec{w}\right)\equiv\left(\vec{u};\vec{w}\right)\ [2\pi]$
$\left(\vec{v};\vec{u}\right)\equiv-\left(\vec{u};\vec{v}\right)\ [2\pi]$
Cosinus, sinus et tangente
Définition
Soit $M$ le point de $(\mathcal{C})$ d’abscisse curviligne $x$. On appelle cosinus et sinus de $x$ l’abscisse et l’ordonnée de $M$ :
$M(\cos x;\sin x)$
Pour $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, la tangente de $x$ est $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$.
Propriété Propriétés fondamentales
Pour tout réel $x$ et tout $k\in\mathbb{Z}$ :
$-1\leq\cos x\leq1$ ; $-1\leq\sin x\leq1$ ; $\cos^2x+\sin^2x=1$
$\cos(x+2k\pi)=\cos x$ ; $\sin(x+2k\pi)=\sin x$ ; $\tan(x+k\pi)=\tan x$
Si $\cos x\neq0$ : $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$.
Exemple
On sait que $\cos x=\dfrac{3}{5}$ et $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};0\right[$. Calculer $\sin x$ et $\tan x$.
$\sin^2x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ et $\sin x<0$ sur cet intervalle :
$\sin x=-\dfrac{4}{5}$ ; $\tan x=\dfrac{-4/5}{3/5}=-\dfrac{4}{3}$
Valeurs remarquables
Propriété Tableau des valeurs remarquables
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | non définie |
Relations entre les angles
Propriété Angles opposés : $x$ et $-x$
$\cos(-x)=\cos x$ ; $\sin(-x)=-\sin x$ ; $\tan(-x)=-\tan x$
Propriété Angles supplémentaires : $\pi-x$ et $x$ ; $\pi+x$ et $x$
$\cos(\pi-x)=-\cos x$ ; $\sin(\pi-x)=\sin x$ ; $\tan(\pi-x)=-\tan x$
$\cos(\pi+x)=-\cos x$ ; $\sin(\pi+x)=-\sin x$ ; $\tan(\pi+x)=\tan x$
Propriété Angles complémentaires : $\dfrac{\pi}{2}-x$ et $x$ ; $\dfrac{\pi}{2}+x$ et $x$
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ ; $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ ; $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan x}$
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$ ; $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$ ; $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\dfrac{1}{\tan x}$
Propriété Résumé
| | $-x$ | $\pi-x$ | $\pi+x$ | $\dfrac{\pi}{2}-x$ | $\dfrac{\pi}{2}+x$ |
| $\sin$ | $-\sin x$ | $\sin x$ | $-\sin x$ | $\cos x$ | $\cos x$ |
| $\cos$ | $\cos x$ | $-\cos x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ | $-\sin x$ |
| $\tan$ | $-\tan x$ | $-\tan x$ | $\tan x$ | $\dfrac{1}{\tan x}$ | $-\dfrac{1}{\tan x}$ |
Exemple Calculer $\cos\dfrac{5\pi}{6}$, $\sin\dfrac{7\pi}{6}$ et $\tan\dfrac{2\pi}{3}$
$\cos\dfrac{5\pi}{6}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}$
$\tan\dfrac{2\pi}{3}=\tan\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\tan\dfrac{\pi}{3}=-\sqrt{3}$
Application Simplifier une expression
$A=\cos(\pi-x)+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\cos(\pi+x)+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$
$A=-\cos x+\cos x-\cos x+\cos x$
$A=0$
À retenir
- $\pi\,\operatorname{rad}=180^\circ$ ; abscisses curvilignes de $M$ : $x+2k\pi$.
- $M(\cos x;\sin x)$ ; $\cos^2x+\sin^2x=1$ ; $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- Ramener tout angle à $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ avec les relations $-x$, $\pi\pm x$, $\dfrac{\pi}{2}\pm x$.