Les transformations usuelles
Définition Transformation du plan
Une transformation du plan est une relation qui associe à chaque point $M$ du plan un unique point $M'$ appelé image de $M$.
Définition 1. Symétrie axiale $S_{(\Delta)}$
$S_{(\Delta)}(M)=M'$ signifie : si $M\in(\Delta)$ alors $M'=M$ ; sinon $(\Delta)$ est la médiatrice de $[MM']$.
Définition 2. Symétrie centrale $S_O$
$S_O(M)=M'$ signifie que $O$ est le milieu de $[MM']$ :
$\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{OM}$
Définition 3. Translation $t_{\vec{u}}$
$t_{\vec{u}}(M)=M'$ signifie :
$\overrightarrow{MM'}=\vec{u}$
Si $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ : $t_{\vec{u}}(M)=M'\iff ABM'M$ est un parallélogramme.
Définition 4. Homothétie $h(\Omega;k)$
Soit $\Omega$ un point et $k$ un réel non nul. L’homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ associe à $M$ le point $M'$ tel que :
$\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}$
$\Omega$, $M$ et $M'$ sont alignés ; $h(\Omega;-1)=S_\Omega$ ; $h(\Omega;1)$ est l’identité.
Exemple
$ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$ et $G$ le centre de gravité : $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$, donc $G$ est l’image de $I$ par $h\left(A;\dfrac{2}{3}\right)$.
Et $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI}$ : $A$ est l’image de $I$ par $h(G;-2)$.
Propriétés caractéristiques
Propriété
Si $M'$ et $N'$ sont les images de $M$ et $N$ :
- Translation : $\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{MN}$ ;
- Symétrie centrale : $\overrightarrow{M'N'}=-\overrightarrow{MN}$ ;
- Homothétie de rapport $k$ : $\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}$.
Réciproquement, une transformation $T$ vérifiant $\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}$ pour tous $M$, $N$ est une translation si $k=1$ et une homothétie de rapport $k$ si $k\neq1$.
Exemple Démonstration pour l’homothétie
$\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{M'\Omega}+\overrightarrow{\Omega N'}=-k\,\overrightarrow{\Omega M}+k\,\overrightarrow{\Omega N}=k\left(\overrightarrow{M\Omega}+\overrightarrow{\Omega N}\right)=k\,\overrightarrow{MN}$
Propriétés des transformations
Propriété Conservation
- La symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation conservent les distances : $M'N'=MN$ (ce sont des isométries).
- L’homothétie de rapport $k$ multiplie les distances par $|k|$ : $M'N'=|k|\,MN$.
- Les quatre transformations conservent l’alignement, le milieu, le parallélisme, l’orthogonalité et les mesures d’angles géométriques.
Remarque
Elles conservent aussi le coefficient de colinéarité : si $\overrightarrow{AC}=\alpha\overrightarrow{AB}$ alors $\overrightarrow{A'C'}=\alpha\overrightarrow{A'B'}$.
Images de figures
Propriété
| Figure | Image par une isométrie | Image par $h(\Omega;k)$ |
| Droite $(AB)$ | droite $(A'B')$ parallèle (sauf symétrie axiale) | droite $(A'B')$ parallèle à $(AB)$ |
| Segment $[AB]$ | segment $[A'B']$ de même longueur | segment $[A'B']$ de longueur $\lvert k\rvert AB$ |
| Cercle $\mathcal{C}(O;r)$ | cercle $\mathcal{C}(O';r)$ | cercle $\mathcal{C}(O';\lvert k\rvert r)$ |
| Angle | angle de même mesure | angle de même mesure |
Application Utiliser une homothétie
$ABCD$ est un trapèze tel que $(AB)\parallel(CD)$ et $CD=2AB$ ; ses diagonales se coupent en $O$.
Le théorème de Thalès donne $\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OB}$ :
$h(O;-2)$ transforme $A$ en $C$ et $B$ en $D$, donc $[AB]$ en $[CD]$
Erreur fréquente
L’homothétie ne conserve pas les distances (sauf si $k=\pm1$) ; une homothétie de rapport négatif place $M'$ de l’autre côté de $\Omega$.
À retenir
- $t_{\vec{u}}$ : $\overrightarrow{MM'}=\vec{u}$ ; $S_O$ : $O$ milieu de $[MM']$ ; $h(\Omega;k)$ : $\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}$.
- $\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}$ : translation ($k=1$), symétrie centrale ($k=-1$), homothétie.
- Toutes conservent alignement, milieu, parallélisme et angles ; l’homothétie multiplie les longueurs par $|k|$.