Population statistique et caractère
Définition
- Population : ensemble étudié ; ses éléments sont les individus ; leur nombre est l’effectif total $N$.
- Caractère : propriété étudiée ; il est qualitatif (couleur, sport préféré…) ou quantitatif (note, taille…).
- Un caractère quantitatif est discret (valeurs isolées) ou continu (valeurs regroupées en classes $[a;b[$).
Effectif, fréquence, pourcentage
Définition
L’effectif $n_i$ d’une valeur $x_i$ est le nombre d’individus qui ont cette valeur. Sa fréquence est $f_i=\dfrac{n_i}{N}$ et son pourcentage $100f_i\,\%$.
L’effectif cumulé croissant de $x_i$ est la somme des effectifs des valeurs $\leq x_i$.
$\sum f_i=1$ ; $\sum n_i=N$
Exemple Notes de $20$ élèves
| Note $x_i$ | $8$ | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ |
| Effectif $n_i$ | $2$ | $5$ | $6$ | $4$ | $3$ |
| Fréquence $f_i$ | $0{,}1$ | $0{,}25$ | $0{,}3$ | $0{,}2$ | $0{,}15$ |
| Effectif cumulé | $2$ | $7$ | $13$ | $17$ | $20$ |
Remarque Représentations graphiques
Caractère discret : diagramme en bâtons ; caractère continu : histogramme (rectangles d’aires proportionnelles aux effectifs) ; caractère qualitatif : diagramme circulaire (angle $=360^\circ\times f_i$).
Paramètres de position
Définition Le mode
Le mode est la valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif. Dans l’exemple : le mode est $12$.
Définition La moyenne
$\overline{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}=\sum f_ix_i$
Pour un caractère continu, $x_i$ est le centre de la classe $[a;b[$ : $x_i=\dfrac{a+b}{2}$.
Exemple
$\overline{x}=\dfrac{2\times8+5\times10+6\times12+4\times14+3\times16}{20}=\dfrac{242}{20}$
$\overline{x}=12{,}1$
Définition La médiane
La médiane $Me$ partage la série ordonnée en deux parties de même effectif :
- si $N$ est impair, $Me$ est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ ;
- si $N$ est pair, $Me$ est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$.
Exemple
$N=20$ : on prend les valeurs de rangs $10$ et $11$ ; d’après les effectifs cumulés ($7<10\leq11\leq13$), toutes deux valent $12$.
$Me=12$
Exemple Caractère continu
| Taille (cm) | $[150;160[$ | $[160;170[$ | $[170;180[$ |
| Centre $x_i$ | $155$ | $165$ | $175$ |
| Effectif $n_i$ | $4$ | $10$ | $6$ |
$\overline{x}=\dfrac{4\times155+10\times165+6\times175}{20}$
$\overline{x}=\dfrac{3320}{20}=166$
Classe modale : $[160;170[$.
Paramètres de dispersion
Définition
- Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
- Écart moyen : moyenne des écarts à la moyenne, $e=\dfrac{\sum n_i\left|x_i-\overline{x}\right|}{N}$.
- Variance : $V=\dfrac{\sum n_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{N}=\dfrac{\sum n_ix_i^2}{N}-\overline{x}^2$.
- Écart-type : $\sigma=\sqrt{V}$.
Exemple Série des notes ($\overline{x}=12{,}1$)
Étendue : $16-8=8$.
Écart moyen : $e=\dfrac{2\times4{,}1+5\times2{,}1+6\times0{,}1+4\times1{,}9+3\times3{,}9}{20}$
$e=\dfrac{38{,}6}{20}=1{,}93$
$\dfrac{\sum n_ix_i^2}{N}=\dfrac{128+500+864+784+768}{20}=\dfrac{3044}{20}=152{,}2$
$V=152{,}2-12{,}1^2=152{,}2-146{,}41=5{,}79$
$\sigma=\sqrt{5{,}79}\approx2{,}41$
Remarque
Plus l’écart-type est petit, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne.
À retenir
- $f_i=\dfrac{n_i}{N}$ ; mode : plus grand effectif ; médiane : à l’aide des effectifs cumulés.
- $\overline{x}=\dfrac{\sum n_ix_i}{N}$ (centres des classes pour un caractère continu).
- $V=\dfrac{\sum n_ix_i^2}{N}-\overline{x}^2$ ; $\sigma=\sqrt{V}$.