Polynôme de degré n
Définition
On appelle polynôme de degré $n$ toute expression de la forme :
$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ avec $a_n\neq0$
- $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$ sont les coefficients de $P$ ;
- $a_px^p$ est le monôme de degré $p$ ; on note $n=\deg(P)$.
Exemple
- $P(x)=7x^6-5x^4+3x-11$ est un polynôme de degré $6$.
- $ax+b$ ($a\neq0$) est un polynôme de degré $1$ ; une constante $k\neq0$ est de degré $0$.
- $Q(x)=x^3+x+\dfrac{1}{x}$ n’est pas un polynôme.
Égalité de deux polynômes
Propriété
Deux polynômes $P$ et $Q$ sont égaux si et seulement s’ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour les termes de même degré.
Cas particulier : $P=0$ (polynôme nul) signifie que tous ses coefficients sont nuls.
Exemple
$Q(x)=\left(x^2+\sqrt{2}x+1\right)\left(x^2-\sqrt{2}x+1\right)=\left(x^2+1\right)^2-\left(\sqrt{2}x\right)^2=x^4+2x^2+1-2x^2$
$Q(x)=x^4+1=P(x)$ : $P$ et $Q$ sont égaux
$P(x)=2x^2-3x+4$ et $R(x)=ax^2+bx+c$ sont égaux pour $a=2$, $b=-3$, $c=4$.
Opérations sur les polynômes
Propriété
- La somme et la différence de deux polynômes sont des polynômes : $\deg(P\pm Q)\leq\max\left(\deg P;\deg Q\right)$.
- Le produit est un polynôme : $\deg(P\times Q)=\deg P+\deg Q$.
- Le quotient $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ n’existe que si $Q(x)\neq0$ ; on l’appelle une fraction rationnelle.
Exemple
$P(x)=x^2+1$ et $Q(x)=2x-3$ : $(P\times Q)(x)=2x^3-3x^2+2x-3$ est de degré $2+1=3$.
Racine d’un polynôme
Définition
On appelle racine d’un polynôme $P$ toute solution $x_0$ de l’équation $P(x)=0$.
Exemple
- Les racines de $P(x)=(x-1)(x+3)(x-2)$ sont $-3$, $1$ et $2$.
- $ax+b$ ($a\neq0$) a une seule racine : $x_0=-\dfrac{b}{a}$.
- $x^2+1$ n’a aucune racine réelle (il est strictement positif).
Remarque
- Un polynôme sans racine réelle est de signe constant.
- Un polynôme de degré $n$ possède au plus $n$ racines réelles.
Factorisation
Théorème
Si $x_0$ est une racine du polynôme $P$ de degré $n$, alors $P$ est divisible par $x-x_0$ :
$P(x)=(x-x_0)Q(x)$ où $Q$ est un polynôme de degré $n-1$
Remarque Racine évidente
On essaie $x=1$, $x=-1$, $x=0$, $x=2$, $\ldots$ ; si $P$ s’annule, on a trouvé une racine évidente.
Méthode Méthode 1 : identification des coefficients
$f(x)=3x^4-x^3+x^2+11x+6$ : $f(-1)=3+1+1-11+6=0$, donc $f(x)=(x+1)\left(ax^3+bx^2+cx+d\right)$.
$(x+1)\left(ax^3+bx^2+cx+d\right)=ax^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+d)x+d$
Par identification : $a=3$, $a+b=-1$, $b+c=1$, $c+d=11$, $d=6$, d’où $b=-4$ et $c=5$.
$f(x)=(x+1)\left(3x^3-4x^2+5x+6\right)$
Méthode Méthode 2 : division euclidienne
$f(x)=x^4-7x^3+17x^2-17x+6$ : $f(1)=0$. On divise $f(x)$ par $x-1$ comme pour les nombres :
| Étape | On soustrait | Reste |
| $x^3$ | $x^4-x^3$ | $-6x^3+17x^2-17x+6$ |
| $-6x^2$ | $-6x^3+6x^2$ | $11x^2-17x+6$ |
| $11x$ | $11x^2-11x$ | $-6x+6$ |
| $-6$ | $-6x+6$ | $0$ |
$f(x)=(x-1)\left(x^3-6x^2+11x-6\right)$
Exemple Factoriser $P(x)=x^3-7x+6$
$P(1)=0$ et $P(2)=8-14+6=0$ : $1$ et $2$ sont racines, donc $P(x)=(x-1)(x-2)(ax+b)$.
$(x-1)(x-2)(ax+b)=\left(x^2-3x+2\right)(ax+b)=ax^3+(b-3a)x^2+(2a-3b)x+2b$
Identification : $a=1$, $b-3a=0$, $2b=6$ : $a=1$ et $b=3$.
$P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$
À retenir
- Égalité de polynômes $\iff$ mêmes coefficients ; $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$.
- $P(x_0)=0\iff P(x)=(x-x_0)Q(x)$ avec $\deg Q=\deg P-1$.
- Chercher une racine évidente, puis identifier les coefficients ou effectuer la division euclidienne.