Remarque Activité : l’histoire des nombres
Les ensembles de nombres
L’ensemble des entiers naturels ℕ
Remarque Notations
$\mathbb{N}=\{0;1;2;\ldots;n;\ldots\}$ et $\mathbb{N}^*$ est $\mathbb{N}$ privé de $0$.
Remarque
La soustraction et la division ne sont pas toujours possibles dans $\mathbb{N}$ :
- si $a\in\mathbb{N}$ et $b\in\mathbb{N}$, alors $a-b\in\mathbb{N}$ seulement si $a\geq b$ ;
- si $a\in\mathbb{N}$ et $b\in\mathbb{N}^*$, alors $\dfrac{a}{b}\in\mathbb{N}$ seulement si $a$ est un multiple de $b$.
L’ensemble des entiers relatifs ℤ
Remarque Notations
$\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}$
$\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}$ ; $\mathbb{Z}^-=\{\ldots;-2;-1;0\}$ (entiers négatifs) ; $\mathbb{Z}^*$ est $\mathbb{Z}$ privé de $0$. On a $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$.
Propriété
Tout élément $x$ de $\mathbb{Z}$ admet dans $\mathbb{Z}$ un opposé $-x$ ; la soustraction est donc toujours possible dans $\mathbb{Z}$.
En revanche, si $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^*$, $\dfrac{a}{b}\in\mathbb{Z}$ seulement si $a$ est un multiple de $b$.
L’ensemble des décimaux 𝔻
Définition
Un nombre décimal est un nombre qui possède une écriture de la forme $\dfrac{a}{10^n}$ où $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$ (nombre « à virgule » ayant un nombre fini de chiffres après la virgule).
On a $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$.
Exemple
$-3{,}89=\dfrac{-389}{10^2}$ ; $5{,}2=\dfrac{52}{10^1}$ ; $5=\dfrac{5}{10^0}$ ; $\dfrac{3}{4}=\dfrac{75}{10^2}$
Ces quatre nombres sont décimaux ; par contre $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots\notin\mathbb{D}$
L’ensemble des rationnels ℚ
Définition
Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit $\dfrac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{Z}^*$. L’ensemble des rationnels est noté $\mathbb{Q}$.
Exemples : $\dfrac{8}{7}$, $-\dfrac{4}{5}$, $1{,}31=\dfrac{131}{100}$, $-2=\dfrac{-2}{1}$ sont rationnels.
Remarque
Un rationnel s’écrit d’une infinité de façons : $-\dfrac{8}{7}=\dfrac{8}{-7}=\dfrac{-16}{14}=\dfrac{-8k}{7k}$ $(k\in\mathbb{Z}^*)$.
Propriété
- Tout rationnel non nul $a$ admet un inverse $\dfrac{1}{a}$.
- Pour $a\in\mathbb{Q}$ et $b\in\mathbb{Q}^*$ : $\dfrac{a}{b}=a\times\dfrac{1}{b}$.
L’ensemble des réels ℝ
Définition
Un nombre qui ne peut pas s’écrire $\dfrac{p}{q}$ ($p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{Z}^*$) est dit irrationnel : par exemple $\sqrt{2}$ et $\pi$.
L’ensemble $\mathbb{R}$ des réels contient les rationnels et les irrationnels :
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$
Remarque
$\mathbb{R}$ est représenté par une droite graduée : chaque réel est représenté par un point et chaque point représente un réel.
Remarque Teste-toi
Opérations dans ℝ
Opérations sur les quotients
Formules
Pour $a$, $c$ réels et $b$, $d$ réels non nuls :
| $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$ | $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ | $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}$ |
| $\dfrac{a}{b}=\dfrac{ad}{bd}$ | $-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{-b}=\dfrac{-1}{b}$ | $\dfrac{1}{\frac{a}{b}}=\dfrac{b}{a}$ $(a\neq0)$ |
| $\dfrac{a}{b}=0\iff a=0$ | $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff ad-bc=0$ | $\dfrac{0}{b}=0$ ; $\dfrac{b}{b}=1$ |
Exemple
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{15}{12}+\dfrac{2}{12}=-\dfrac{5}{12}$
Les racines carrées
Définition
Soit $a\geq0$. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le réel positif dont le carré est $a$. Exemples : $\sqrt{4}=2$ ; $\sqrt{0}=0$.
Un nombre négatif n’a pas de racine carrée : $\sqrt{x-1}$ n’a de sens que si $x-1\geq0$, c’est-à-dire $x\geq1$.
Propriété
- Si $a\geq0$ : $\sqrt{a^2}=a$ (et pour tout réel $a$ : $\sqrt{a^2}=|a|$).
- Pour $a\geq0$ et $b\geq0$ : $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ et, si $b\neq0$, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
- Pour simplifier $\sqrt{n}$, on écrit $n=p^2q$ avec $p$ le plus grand possible : $\sqrt{n}=p\sqrt{q}$.
Erreur fréquente Attention
$\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ en général : $\sqrt{9+16}=5$ mais $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.
Exemple
$\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}$ ; $\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Remarque À toi de calculer
Les puissances
Définition
Soient $a$ un réel et $n\in\mathbb{N}^*$ : $a^n=a\times a\times\cdots\times a$ ($n$ facteurs) ; si $a\neq0$ : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ et $a^0=1$.
En particulier $a^{-1}=\dfrac{1}{a}$ est l’inverse de $a$ ; $10^5=100\,000$ et $10^{-4}=0{,}0001$.
Propriété
Pour $a$, $b$ non nuls et $m$, $n\in\mathbb{Z}$ :
$a^m\times a^n=a^{m+n}$ ; $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ; $(ab)^n=a^nb^n$ ; $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$
Erreur fréquente Attention
$(a+b)^n\neq a^n+b^n$ en général : $(1+2)^2=9$ mais $1^2+2^2=5$.
Propriété Écriture scientifique
Tout décimal non nul s’écrit sous la forme $A\times10^n$ où $1\leq A<10$ (au signe près) et $n\in\mathbb{Z}$.
$0{,}000287=2{,}87\times10^{-4}$ ; $-3\,700{,}89=-3{,}70089\times10^3$
Exemple
Simplifier $A=\dfrac{2^5\times3^{-2}\times6^3}{4^2\times9}$.
$A=\dfrac{2^5\times3^{-2}\times2^3\times3^3}{2^4\times3^2}=2^{5+3-4}\times3^{-2+3-2}=2^4\times3^{-1}$
$A=\dfrac{16}{3}$
Remarque Teste-toi
Développement et factorisation
Définition Somme et produit
- Un calcul est une somme si la dernière opération est une addition ; ses éléments sont des termes.
- Un calcul est un produit si la dernière opération est une multiplication ; ses éléments sont des facteurs.
Exemples : $(x-5)(2t+3)$ est un produit ; $2a+5(b+1)-3$ est une somme.
Formules Développer : distributivité et identités remarquables
$a(b+c)=ab+ac$ ; $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ; $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ; $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ; $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
Exemple Développer et réduire
$3a-5(2+a)+(3a-2)^2=3a-10-5a+9a^2-12a+4$
$=9a^2-14a-6$
Formules Factoriser
Facteur commun : $ab+ac+ad=a(b+c+d)$ ; identités dans l’autre sens :
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ ; $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ ; $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$
Exemple
$(a-1)a+(a-1)-(a-1)(2a-2)=(a-1)(a+1-2a+2)=(a-1)(-a+3)$
$(2t-5)^2-36=(2t-5+6)(2t-5-6)=(2t+1)(2t-11)$
$x^3-27=x^3-3^3=(x-3)\left(x^2+3x+9\right)$
À retenir
- $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ ; décimal : $\dfrac{a}{10^n}$ ; rationnel : $\dfrac{p}{q}$ ; $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels.
- $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ mais $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ; $a^ma^n=a^{m+n}$ ; écriture scientifique $A\times10^n$.
- Développer : produit ⇒ somme ; factoriser : somme ⇒ produit (facteur commun, identités remarquables).