درس «Le produit scalaire» لتلاميذ الجذع المشترك العلمي (خيار فرنسية) بالفرنسية والعربية: Définitions - Propriétés - Norme - Orthogonalité - Relations métriques - Al Kashi - Théorème de la médiane - Expression analytique. Cours Le produit scalaire — Tronc commun scientifique (BIOF).
Produit scalaire de deux vecteurs
Définition Avec la projection orthogonale
Soient $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ non nuls, et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ :
- si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont le même sens : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$ ;
- s’ils sont de sens contraires : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$.
Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ : $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
Définition Avec l’angle
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta$
où $\theta$ est une mesure de l’angle $\left(\widehat{\vec{u};\vec{v}}\right)$.
Exemple
$ABC$ équilatéral de côté $4$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times4\times\cos\dfrac{\pi}{3}=8$.
$AB=5$, $AH=3$ avec $H\in[AB]$ (figure ci-dessus) : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times3=15$.
Propriété
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $\alpha$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ ; $\vec{u}\cdot\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$ ; $\left(\alpha\vec{u}\right)\cdot\vec{v}=\alpha\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)$
Produit scalaire et norme
Propriété
Le carré scalaire : $\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$ ; en particulier $\overrightarrow{AB}^2=AB^2$.
$\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^2=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$ ; $\left(\vec{u}-\vec{v}\right)^2=\|\vec{u}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$
$\left(\vec{u}+\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2$
D’où : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\right)$.
Exemple
$\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=2$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=-1$ : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=9-2+4=11$, donc $\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{11}$.
Produit scalaire et orthogonalité
Propriété
$\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$
(Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.)
Propriété Projection orthogonale
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$.
Exemple
$\vec{u}=\vec{i}+2\vec{j}$ et $\vec{v}=2\vec{i}-\vec{j}$ dans une base orthonormée : $\vec{u}\cdot\vec{v}=2-2=0$, donc $\vec{u}\perp\vec{v}$.
Applications du produit scalaire
Théorème Relations métriques dans le triangle rectangle
$ABC$ rectangle en $B$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $B$ :
- Pythagore : $AC^2=AB^2+BC^2$ ;
- $AB^2=AH\times AC$ ; $BC^2=CH\times CA$ ; $BH^2=AH\times HC$ ; $BA\times BC=AC\times BH$
Théorème Théorème d’Al Kashi
Dans un triangle $ABC$ avec $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ :
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$
Preuve : $BC^2=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2=AC^2+AB^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Exemple
$b=3$, $c=5$ et $\widehat{A}=\dfrac{2\pi}{3}$ : $a^2=9+25-2\times3\times5\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=49$, donc $a=7$.
Théorème Théorème de la médiane
Si $I$ est le milieu de $[BC]$ :
$AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}$
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AI^2-\dfrac{BC^2}{4}$
Expression analytique
Propriété
Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ ; $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$
$AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$
Application Nature d’un triangle
$A(1;1)$, $B(4;2)$, $C(0;4)$ : $\overrightarrow{AB}(3;1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1;3)$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-3+3=0$ et $AB=AC=\sqrt{10}$ :
$ABC$ est rectangle et isocèle en $A$
À retenir
- $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\pm AB\times AH=AB\times AC\times\cos\widehat{A}$.
- $\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ ; $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ en repère orthonormé.
- Al Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$ ; médiane : $AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}$.
الجداء السلمي لمتجهتين
تعريف بواسطة الإسقاط العمودي
لتكن $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ و $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ غير منعدمتين، و $H$ المسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$ :
- إذا كان لـ $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AH}$ نفس المنحى : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$ ؛
- إذا كان لهما منحيان متعاكسان : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$.
إذا كان $\vec{u}=\vec{0}$ أو $\vec{v}=\vec{0}$ : $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
تعريف بواسطة الزاوية
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta$
حيث $\theta$ قياس للزاوية $\left(\widehat{\vec{u};\vec{v}}\right)$.
مثال
$ABC$ متساوي الأضلاع طول ضلعه $4$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times4\times\cos\dfrac{\pi}{3}=8$.
$AB=5$ و $AH=3$ مع $H\in[AB]$ (الشكل أعلاه) : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times3=15$.
خاصية
لكل المتجهات $\vec{u}$ و $\vec{v}$ و $\vec{w}$ ولكل عدد حقيقي $\alpha$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ ; $\vec{u}\cdot\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$ ; $\left(\alpha\vec{u}\right)\cdot\vec{v}=\alpha\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)$
الجداء السلمي والمنظم
خاصية
المربع السلمي : $\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$ ؛ وبالخصوص $\overrightarrow{AB}^2=AB^2$.
$\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^2=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$ ; $\left(\vec{u}-\vec{v}\right)^2=\|\vec{u}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$
$\left(\vec{u}+\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2$
ومنه : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\right)$.
مثال
$\|\vec{u}\|=3$ و $\|\vec{v}\|=2$ و $\vec{u}\cdot\vec{v}=-1$ : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=9-2+4=11$، إذن $\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{11}$.
الجداء السلمي والتعامد
خاصية
$\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$
(المتجهة المنعدمة عمودية على كل متجهة.)
خاصية الإسقاط العمودي
إذا كانت $H$ المسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$ فإن $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$.
مثال
$\vec{u}=\vec{i}+2\vec{j}$ و $\vec{v}=2\vec{i}-\vec{j}$ في أساس متعامد ممنظم : $\vec{u}\cdot\vec{v}=2-2=0$، إذن $\vec{u}\perp\vec{v}$.
تطبيقات الجداء السلمي
مبرهنة العلاقات المترية في المثلث القائم
$ABC$ قائم الزاوية في $B$ و $H$ قدم الارتفاع المار من $B$ :
- فيثاغورس : $AC^2=AB^2+BC^2$ ؛
- $AB^2=AH\times AC$ ; $BC^2=CH\times CA$ ; $BH^2=AH\times HC$ ; $BA\times BC=AC\times BH$
مبرهنة مبرهنة الكاشي
في مثلث $ABC$ مع $a=BC$ و $b=CA$ و $c=AB$ :
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$
البرهان : $BC^2=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2=AC^2+AB^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
مثال
$b=3$ و $c=5$ و $\widehat{A}=\dfrac{2\pi}{3}$ : $a^2=9+25-2\times3\times5\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=49$، إذن $a=7$.
مبرهنة مبرهنة المتوسط
إذا كانت $I$ منتصف $[BC]$ :
$AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}$
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AI^2-\dfrac{BC^2}{4}$
الصيغة التحليلية
خاصية
في معلم متعامد ممنظم، إذا كانت $\vec{u}(x;y)$ و $\vec{v}(x';y')$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ ; $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$
$AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$
تطبيق طبيعة مثلث
$A(1;1)$ و $B(4;2)$ و $C(0;4)$ : $\overrightarrow{AB}(3;1)$ و $\overrightarrow{AC}(-1;3)$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-3+3=0$ و $AB=AC=\sqrt{10}$ :
$ABC$ قائم الزاوية ومتساوي الساقين في $A$
للحفظ
- $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\pm AB\times AH=AB\times AC\times\cos\widehat{A}$.
- $\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ ؛ $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ في معلم متعامد ممنظم.
- الكاشي : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$ ؛ المتوسط : $AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}$.