Repère du plan
Définition
Un repère $(O;I;J)$ du plan est formé de trois points non alignés : $O$ est l’origine, $(OI)$ l’axe des abscisses, $(OJ)$ l’axe des ordonnées.
On pose $\vec{i}=\overrightarrow{OI}$ et $\vec{j}=\overrightarrow{OJ}$ ; le repère se note aussi $(O;\vec{i};\vec{j})$ et $(\vec{i};\vec{j})$ est sa base.
Remarque Trois types de repères
- orthonormé : axes perpendiculaires et $OI=OJ=1$ (maille carrée) ;
- orthogonal : axes perpendiculaires (maille rectangulaire) ;
- quelconque : maille en parallélogramme.
Exemple
Dans un repère orthonormé, on place $A(2;3)$, $B(3;-1)$, $C(-2;-1)$, $D(3;0)$, $E(-2;3)$ et $F(0;-1)$ :
Calculs dans un repère
Théorème Coordonnées d’un point et d’un vecteur
Pour tout point $M$, il existe un unique couple $(x;y)$ tel que $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$ : on note $M(x;y)$ ($x$ abscisse, $y$ ordonnée).
De même $\vec{u}(x;y)$ signifie $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$.
Formules
Pour $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$, $\vec{u}(a;b)$, $\vec{v}(a';b')$ et $k\in\mathbb{R}$ :
$\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$ ; milieu $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
Dans un repère orthonormé : $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$
$\vec{u}+\vec{v}\left(a+a';b+b'\right)$ ; $k\vec{u}\left(ka;kb\right)$
Propriété Égalité et colinéarité
Soient $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ :
- $\vec{u}=\vec{v}\iff x=x'$ et $y=y'$ ;
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff xy'-yx'=0$.
Le réel $\det\left(\vec{u};\vec{v}\right)=\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}=xy'-yx'$ est le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Remarque
Si $\det\left(\vec{u};\vec{v}\right)\neq0$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : ils forment une base du plan.
Exemple
$\vec{u}(2;-3)$, $\vec{v}(-6;9)$, $\vec{w}(5;-7)$ : $2\times9-(-3)\times(-6)=0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ; $2\times(-7)-(-3)\times5=1\neq0$ donc $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne le sont pas.
Application Application
$A(-3;-2)$, $B(1;-1)$, $C(4;4)$, $D(0;3)$. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme et préciser la nature de $ABD$.
$\overrightarrow{AB}(4;1)$ et $\overrightarrow{DC}(4;1)$ : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, donc $ABCD$ est un parallélogramme.
$AB=\sqrt{17}$ ; $DB=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$ ; $AD=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}=\sqrt{AB^2+DB^2}$
$ABD$ est rectangle isocèle en $B$
Droite dans le plan
Définition Vecteur directeur
Si $A$ et $B$ sont deux points distincts d’une droite $\mathcal{D}$, tout vecteur $\vec{u}$ non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ ; on note $\mathcal{D}(A;\vec{u})$.
$M\in\mathcal{D}(A;\vec{u})\iff\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
Définition Représentation paramétrique
Si $A(x_A;y_A)\in\mathcal{D}$ et $\vec{u}(\alpha;\beta)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$, le système suivant est une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ :
$\begin{cases}x=x_A+\alpha t\\y=y_A+\beta t\end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$
Exemple : $\begin{cases}x=1-2t\\y=-1+3t\end{cases}$ représente la droite passant par $A(1;-1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(-2;3)$.
Propriété Équation cartésienne
Toute droite a une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $(a;b)\neq(0;0)$ ; réciproquement, une telle équation définit une droite de vecteur directeur $\vec{u}(-b;a)$.
Cas particuliers : droite parallèle à l’axe des ordonnées : $x=a$ ; parallèle à l’axe des abscisses : $y=b$.
Méthode Obtenir une équation cartésienne
Pour $\mathcal{D}(A;\vec{u})$ avec $\vec{u}(\alpha;\beta)$, on écrit que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires :
$\begin{vmatrix}x-x_A&\alpha\\y-y_A&\beta\end{vmatrix}=0$
Exemple
Droite passant par $A(1;-1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(-2;3)$ : $3(x-1)-(-2)(y+1)=0$.
$3x+2y-1=0$
Théorème Équation réduite
Toute droite a une équation soit de la forme $x=c$, soit de la forme $y=mx+p$ (équation réduite) où :
$m$ est le coefficient directeur, $p$ l’ordonnée à l’origine, et $\vec{u}(1;m)$ est un vecteur directeur.
Si $A$ et $B$ (avec $x_A\neq x_B$) sont sur la droite : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
Propriété Positions relatives de deux droites
- $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles si $m=m'$ et sécantes si $m\neq m'$.
- $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ sont sécantes si $ab'-a'b\neq0$ et parallèles si $ab'-a'b=0$.
Signe de ax+by+c
Théorème
Soit $\mathcal{D}:ax+by+c=0$. Le réel $ax+by+c$ associé au point $M(x;y)$ est :
- nul si $M\in\mathcal{D}$ ;
- strictement positif dans l’un des demi-plans ouverts de frontière $\mathcal{D}$ ;
- strictement négatif dans l’autre.
Exemple
Ensemble $\mathcal{E}$ des points tels que $2x+3y-12>0$ : on trace $\mathcal{D}:2x+3y-12=0$ ; pour $O(0;0)$ on obtient $-12<0$, donc $O\notin\mathcal{E}$.
$\mathcal{E}$ est le demi-plan ouvert de frontière $\mathcal{D}$ ne contenant pas $O$
À retenir
- $\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$, milieu, distance ; colinéarité $\iff xy'-yx'=0$.
- $ax+by+c=0$ dirigée par $\vec{u}(-b;a)$ ; $y=mx+p$ dirigée par $\vec{u}(1;m)$ ; parallèles $\iff m=m'$.
- Signe de $ax+by+c$ : on teste un point (souvent $O$) pour choisir le demi-plan.