Ordre et opérations
Définition Comparer deux réels
Comparer $a$ et $b$, c’est chercher lequel est le plus grand. On a :
$a<b\iff a-b<0$
Comparer $a$ et $b$ revient donc à étudier le signe de $a-b$.
Exemple
Comparer $a=\dfrac{5}{7}$ et $b=\dfrac{7}{10}$ : $a-b=\dfrac{50-49}{70}=\dfrac{1}{70}>0$.
$a>b$
Propriété Ordre et addition
- Si $a<b$, alors $a+c<b+c$ et $a-c<b-c$ : ajouter ou soustraire un même nombre ne change pas le sens.
- Si $a<b$ et $c<d$, alors $a+c<b+d$ (on peut additionner membre à membre).
Propriété Ordre et multiplication
- Si $a<b$ et $c>0$, alors $ac<bc$ : multiplier par un nombre strictement positif ne change pas le sens.
- Si $a<b$ et $c<0$, alors $ac>bc$ : multiplier par un nombre strictement négatif change le sens.
- Si $a$, $b$, $c$, $d$ sont positifs avec $a<b$ et $c<d$, alors $ac<bd$.
- Pour $b\neq0$ : si $a$ et $b$ sont positifs, $a<b\iff\dfrac{a}{b}<1$ ; s’ils sont négatifs, $a<b\iff\dfrac{a}{b}>1$.
Propriété Ordre et inverse
Si $a$ et $b$ sont non nuls et de même signe :
$a<b\iff\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$
Deux nombres de même signe et leurs inverses sont rangés dans l’ordre inverse.
Propriété Ordre et carré, ordre et racine carrée
- Si $a$ et $b$ sont positifs : $a<b\iff a^2<b^2\iff\sqrt{a}<\sqrt{b}$ (même ordre).
- Si $a$ et $b$ sont négatifs : $a<b\iff a^2>b^2$ (ordre inverse).
Exemple
Sachant que $2<x<3$, encadrer $-2x+1$, $x^2$ et $\dfrac{1}{x}$.
$-6<-2x<-4$ (multiplication par $-2$), donc $-5<-2x+1<-3$ ; $x>0$ : $4<x^2<9$ et $\dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2}$.
Intervalles de ℝ
Définition
Soient $a<b$ deux réels.
| Intervalle | Inégalité | Nom |
| $[a;b]$ | $a\leq x\leq b$ | fermé |
| $[a;b[$ | $a\leq x<b$ | ouvert à droite |
| $]a;b]$ | $a<x\leq b$ | ouvert à gauche |
| $]a;b[$ | $a<x<b$ | ouvert |
| $]-\infty;b]$ | $x\leq b$ | non borné |
| $]-\infty;b[$ | $x<b$ | non borné |
| $[a;+\infty[$ | $x\geq a$ | non borné |
| $]a;+\infty[$ | $x>a$ | non borné |
Remarque
Pour les intervalles bornés d’extrémités $a$ et $b$ : la longueur (amplitude) est $b-a$, le centre est $c=\dfrac{a+b}{2}$ et le rayon est $r=\dfrac{b-a}{2}$.
On a aussi $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$.
Définition Réunion et intersection
- La réunion $I\cup J$ est l’ensemble des réels qui appartiennent à $I$ ou à $J$.
- L’intersection $I\cap J$ est l’ensemble des réels qui appartiennent à $I$ et à $J$.
Exemple
$[-2;3]\cup[1;5]=[-2;5]$ ; $[-2;3]\cap[1;5]=[1;3]$
Sur la droite graduée : la réunion est la partie hachurée au moins une fois, l’intersection la partie hachurée deux fois.
Valeur absolue d’un nombre réel
Définition Distance entre deux réels
La distance entre $x$ et $y$ est la différence entre le plus grand et le plus petit ; elle est notée $|x-y|$ (ou $|y-x|$).
Si $M$ et $N$ ont pour abscisses $x$ et $y$ sur une droite graduée, alors $|x-y|=MN$.
Définition Valeur absolue
$|x|$ est la distance entre $x$ et $0$ :
si $x\geq0$ : $|x|=x$ ; si $x\leq0$ : $|x|=-x$
Propriété
$|x|=0\iff x=0$ ; $|-x|=|x|$ ; $|x|^2=x^2$ ; $\sqrt{x^2}=|x|$
$|x|=|y|\iff x=y$ ou $x=-y$ ; $|xy|=|x|\times|y|$ ; $\left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|}$ $(y\neq0)$
Inégalité triangulaire : $|x+y|\leq|x|+|y|$.
Propriété Les inégalités $|x-a|\leq r$ et $|x-a|\geq r$
Soient $a\in\mathbb{R}$ et $r>0$ :
$|x-a|\leq r\iff a-r\leq x\leq a+r\iff x\in[a-r;a+r]$
$|x-a|\geq r\iff x\in]-\infty;a-r]\cup[a+r;+\infty[$
Exemple
Résoudre $|x-3|\leq2$ et $|2x+1|>5$.
$|x-3|\leq2\iff1\leq x\leq5$ ; $|2x+1|>5\iff2x+1>5$ ou $2x+1<-5$
$S_1=[1;5]$ ; $S_2=]-\infty;-3[\cup]2;+\infty[$
Encadrement et approximations
Définition Encadrement
On dit que $a$ et $b$ encadrent $x$ lorsque $a\leq x\leq b$ ; le nombre $b-a$ est l’amplitude de l’encadrement.
Définition Valeur approchée
Soit $r>0$. $a$ est une valeur approchée de $x$ à $r$ près lorsque $|x-a|\leq r$ :
- par défaut si $a\leq x\leq a+r$ ;
- par excès si $a-r\leq x\leq a$.
Propriété
Si $a\leq x\leq b$, alors $\dfrac{a+b}{2}$ est une valeur approchée de $x$ à $\dfrac{b-a}{2}$ près.
Exemple
$1{,}41\leq\sqrt{2}\leq1{,}42$ : $1{,}41$ est une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-2}$ près par défaut, $1{,}42$ par excès.
$1{,}415$ est une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $0{,}005$ près
À retenir
- $a<b\iff a-b<0$ ; multiplier par un négatif change le sens ; même signe : inverses en ordre inverse.
- $|x-a|\leq r\iff x\in[a-r;a+r]$ ; $\sqrt{x^2}=|x|$ ; $|x+y|\leq|x|+|y|$.
- $a\leq x\leq b$ : $\dfrac{a+b}{2}$ approche $x$ à $\dfrac{b-a}{2}$ près.