Axiomes
Propriété Axiomes de la géométrie dans l’espace
1. Par deux points distincts passe une et une seule droite.
2. Par trois points non alignés passe un et un seul plan.
3. Si un plan contient deux points $A$ et $B$, il contient toute la droite $(AB)$.
4. Si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite passant par ce point.
5. Axiome d’Euclide : par un point $A$, il passe une seule droite parallèle à une droite $(D)$ donnée.
Propriété Détermination d’un plan
Un plan est déterminé par : trois points non alignés ; ou une droite et un point extérieur ; ou deux droites sécantes ; ou deux droites parallèles distinctes.
Positions relatives
Propriété Deux droites
Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (sécantes ou parallèles), soit non coplanaires (aucun plan ne les contient).
Exemple Dans le cube $ABCDEFGH$
$(AB)$ et $(BC)$ sont sécantes ; $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles ; $(AB)$ et $(CG)$ sont non coplanaires.
Propriété Deux plans
Deux plans sont soit sécants (suivant une droite), soit parallèles (strictement parallèles ou confondus).
Propriété Une droite et un plan
Une droite et un plan sont soit sécants (en un point), soit parallèles (la droite est incluse dans le plan ou n’a aucun point commun avec lui).
Parallélisme
Propriété Droite parallèle à un plan
Une droite $(D)$ est parallèle à un plan $(P)$ s’il existe une droite $(D')$ de $(P)$ parallèle à $(D)$.
Propriété Deux plans parallèles
Si un plan $(P)$ contient deux droites sécantes parallèles à un plan $(Q)$, alors $(P)\parallel(Q)$.
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
Théorème Théorème du toit
Si $(P_1)$ et $(P_2)$ sont deux plans sécants suivant $(\Delta)$, et si $(D_1)\subset(P_1)$ et $(D_2)\subset(P_2)$ sont parallèles, alors $(\Delta)$ est parallèle à $(D_1)$ et à $(D_2)$.
Exemple
Dans le cube, $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BC]$ : $(IJ)\parallel(AC)$ (droite des milieux) et $(AC)\subset(ACGE)$, donc $(IJ)\parallel(ACGE)$.
Orthogonalité
Définition Droites orthogonales
Deux droites de l’espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires.
Remarque : deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes ; exemple : $(AB)$ et $(CG)$ dans le cube.
Propriété Droite orthogonale à un plan
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan ; elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
Propriété Plans perpendiculaires
Deux plans sont perpendiculaires lorsque l’un contient une droite orthogonale à l’autre.
Exemple
Dans le cube : $(AE)\perp(AB)$ et $(AE)\perp(AD)$, avec $(AB)$ et $(AD)$ sécantes dans $(ABCD)$, donc $(AE)\perp(ABCD)$.
Comme $(AE)\subset(ABFE)$, les plans $(ABFE)$ et $(ABCD)$ sont perpendiculaires.
Surfaces et volumes
Propriété
| Solide | Volume |
| Cube d’arête $a$ | $a^3$ |
| Pavé droit | $L\times\ell\times h$ |
| Prisme droit, cylindre | $B\times h$ |
| Pyramide, cône | $\dfrac{1}{3}B\times h$ |
| Boule de rayon $r$ | $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ (aire de la sphère : $4\pi r^2$) |
($B$ : aire de la base, $h$ : hauteur)
Application Volume d’une pyramide
$SABCD$ est une pyramide de base le carré $ABCD$ de côté $6$ et de hauteur $SO=4$ :
$V=\dfrac{1}{3}\times36\times4=48$
À retenir
- Trois points non alignés déterminent un plan ; deux plans sécants se coupent suivant une droite.
- Parallélisme : droite // une droite du plan ; plans : deux droites sécantes ; théorème du toit.
- Droite ⟂ plan : orthogonale à deux droites sécantes du plan ; volume pyramide/cône : $\dfrac{1}{3}B\times h$.