Définitions et domaine de définition
Définition
Une fonction $f$ associe à chaque réel $x$ d’un ensemble $D$ au plus un réel noté $f(x)$ : $f(x)$ est l’image de $x$ et $x$ est un antécédent de $f(x)$.
L’ensemble des réels qui ont une image est le domaine de définition $D_f$.
Méthode Déterminer $D_f$
- Un dénominateur doit être non nul ;
- Une expression sous une racine carrée doit être positive.
Exemple
$f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-4}$ : $x^2-4\neq0\iff x\neq-2$ et $x\neq2$, donc $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}$.
$g(x)=\sqrt{3-x}$ : $3-x\geq0\iff x\leq3$, donc $D_g=]-\infty;3]$.
$h(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}$ : $x\geq0$ et $x\neq1$, donc $D_h=[0;1[\cup]1;+\infty[$.
Égalité de deux fonctions - Représentation graphique
Définition
$f=g\iff D_f=D_g$ et $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in D_f$.
La courbe représentative de $f$ est $\mathcal{C}_f=\left\{M(x;f(x))/x\in D_f\right\}$.
Exemple
$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ et $g(x)=x+1$ ne sont pas égales : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\neq D_g=\mathbb{R}$.
Fonctions paires et fonctions impaires
Définition
- $f$ est paire si : pour tout $x\in D_f$, $-x\in D_f$ et $f(-x)=f(x)$.
- $f$ est impaire si : pour tout $x\in D_f$, $-x\in D_f$ et $f(-x)=-f(x)$.
Propriété Interprétation graphique
La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine $O$.
Exemple
$f(x)=3x^2-1$ : $D_f=\mathbb{R}$ et $f(-x)=3x^2-1=f(x)$ : $f$ est paire.
$g(x)=x^3-2x$ : $D_g=\mathbb{R}$ et $g(-x)=-x^3+2x=-g(x)$ : $g$ est impaire.
$h(x)=\sqrt{x}$ n’est ni paire ni impaire : $D_h=[0;+\infty[$ n’est pas symétrique par rapport à $0$.
Variations d’une fonction
Définition
Soit $I$ un intervalle inclus dans $D_f$. Pour tous $x_1$, $x_2$ de $I$ avec $x_1<x_2$ :
- $f$ est strictement croissante sur $I$ si $f(x_1)<f(x_2)$ (elle conserve l’ordre) ;
- $f$ est strictement décroissante sur $I$ si $f(x_1)>f(x_2)$ (elle inverse l’ordre) ;
- $f$ est constante sur $I$ si $f(x_1)=f(x_2)$.
Propriété Taux d’accroissement
Pour $x_1\neq x_2$ dans $I$, on pose $T=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ :
$T>0$ sur $I$ ⇒ $f$ strictement croissante ; $T<0$ ⇒ strictement décroissante ; $T=0$ ⇒ constante
Exemple Variations de $f(x)=x^2-4x+3$
$T=\dfrac{\left(x_1^2-x_2^2\right)-4\left(x_1-x_2\right)}{x_1-x_2}=x_1+x_2-4$
- Sur $[2;+\infty[$ : $x_1+x_2>4$, donc $T>0$ : $f$ est strictement croissante.
- Sur $]-\infty;2]$ : $x_1+x_2<4$, donc $T<0$ : $f$ est strictement décroissante.
Propriété Variations et parité
Soit $I\subset D_f\cap[0;+\infty[$ et $I'$ son symétrique par rapport à $0$ :
- si $f$ est paire, $f$ a des variations contraires sur $I$ et $I'$ ;
- si $f$ est impaire, $f$ a les mêmes variations sur $I$ et $I'$.
Il suffit donc d’étudier $f$ sur $D_f\cap[0;+\infty[$.
Extremums
Définition
Soit $a\in I$. $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si $f(x)\leq f(a)$ pour tout $x\in I$ ; $f(a)$ est le minimum si $f(x)\geq f(a)$ pour tout $x\in I$.
Exemple
$f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\geq1=f(2)$
$f(2)=1$ est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$
Les fonctions $x\mapsto ax^2$
Propriété
$f(x)=ax^2$ ($a\neq0$) est paire ; sa courbe est une parabole de sommet $O$ et d’axe de symétrie $(Oy)$.
- si $a>0$ : $f$ décroissante sur $]-\infty;0]$, croissante sur $[0;+\infty[$ (minimum $0$) ;
- si $a<0$ : $f$ croissante sur $]-\infty;0]$, décroissante sur $[0;+\infty[$ (maximum $0$).
Les fonctions $x\mapsto ax^2+bx+c$
Propriété
Avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$, on a $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ : $\mathcal{C}_f$ est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ et d’axe la droite $x=\alpha$.
$f$ a les variations de $x\mapsto ax^2$, avec $\alpha$ au lieu de $0$.
Exemple $f(x)=x^2-4x+3$
$\alpha=-\dfrac{-4}{2}=2$ ; $\beta=f(2)=-1$ ; $f(x)=(x-2)^2-1$
Parabole de sommet $S(2;-1)$, tournée vers le haut ($a=1>0$)
Les fonctions $x\mapsto\dfrac{a}{x}$
Propriété
$f(x)=\dfrac{a}{x}$ ($a\neq0$) est définie sur $\mathbb{R}^*$ et impaire ; sa courbe est une hyperbole de centre $O$ et d’asymptotes les axes du repère.
- si $a>0$ : $f$ strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ ;
- si $a<0$ : $f$ strictement croissante sur chacun de ces intervalles.
Les fonctions homographiques
Propriété
$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq0$, $ad-bc\neq0$) est définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$ et s’écrit $f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}$.
Sa courbe est une hyperbole de centre $\Omega(\alpha;\beta)$ et d’asymptotes les droites $x=\alpha$ et $y=\beta$.
Le signe de $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ donne les variations : $>0$ croissante, $<0$ décroissante (sur chaque intervalle).
Exemple $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$
$D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; $f(x)=\dfrac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1}$ : centre $\Omega(1;2)$.
$ad-bc=2\times(-1)-1\times1=-3<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$.
Position relative de deux courbes
Méthode
On étudie le signe de $f(x)-g(x)$ : si $f(x)-g(x)\geq0$ sur $I$, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$ ; les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection.
Exemple $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+2$
$f(x)-g(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ : les courbes se coupent en $A(-1;1)$ et $B(2;4)$.
$\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $[-1;2]$ et au-dessus ailleurs
À retenir
- $D_f$ : dénominateur $\neq0$, radicande $\geq0$ ; paire : symétrie par rapport à $(Oy)$, impaire : par rapport à $O$.
- Signe du taux $T$ ⇒ variations ; $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$ : sommet $S(\alpha;\beta)$.
- Homographique : $\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}$, centre $\Omega(\alpha;\beta)$, variations selon le signe de $ad-bc$.