Équations du premier degré
Définition
Une équation du premier degré est une équation de la forme $ax+b=0$ avec $a\neq0$ :
$ax+b=0\iff x=-\dfrac{b}{a}$ ; $S=\left\{-\dfrac{b}{a}\right\}$
Exemple
$2x-13=-3x+2\iff5x=15\iff x=3$ ; $S=\{3\}$
$x-4=9x+6+2x\iff-10x=10\iff x=-1$ ; $S=\{-1\}$
Équation produit
Théorème
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :
$f(x)\times g(x)=0\iff f(x)=0$ ou $g(x)=0$
Exemple
$(x+1)(2x+4)-(x-7)(x+1)=0\iff(x+1)\left[(2x+4)-(x-7)\right]=0$
$\iff(x+1)(x+11)=0$
$S=\{-11;-1\}$
Théorème L’équation $x^2=a$
- si $a>0$ : deux solutions, $S=\left\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\right\}$ ;
- si $a=0$ : une solution, $S=\{0\}$ ;
- si $a<0$ : aucune solution, $S=\emptyset$.
Preuve pour $a>0$ : $x^2-a=\left(x-\sqrt{a}\right)\left(x+\sqrt{a}\right)=0$.
Exemple
$(x+2)^2-9=0\iff(x+2-3)(x+2+3)=0\iff(x-1)(x+5)=0$
$S=\{-5;1\}$
Équation quotient
Théorème
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\iff g(x)\neq0$ et $f(x)=0$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{h(x)}{k(x)}\iff g(x)\neq0$ et $k(x)\neq0$ et $f(x)k(x)=g(x)h(x)$
Exemple
$\dfrac{x-2}{-x-1}=0$ : $x\neq-1$ et $x=2$, donc $S=\{2\}$.
$\dfrac{2x+1}{x}=\dfrac{2x}{x+4}$ : $x\neq0$, $x\neq-4$ et $(2x+1)(x+4)=2x^2\iff9x+4=0$.
$S=\left\{-\dfrac{4}{9}\right\}$
Inéquations du premier degré
Définition
Une inéquation du premier degré est de la forme $ax+b>0$ (ou $\geq$, $<$, $\leq$) avec $a\neq0$.
Propriété
On résout comme une équation, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l’inégalité.
Exemple
$2x+3>0\iff x>-\dfrac{3}{2}$ ; $S=\left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$
$3-5x\geq0\iff-5x\geq-3\iff x\leq\dfrac{3}{5}$ ; $S=\left]-\infty;\dfrac{3}{5}\right]$
Tableaux de signes
Propriété Signe de $ax+b$
$ax+b$ a le signe de $a$ à droite de $-\dfrac{b}{a}$, et le signe contraire à gauche :
Méthode Inéquation produit
Résoudre $(2x-4)(-x-5)\leq0$ : $2x-4=0\iff x=2$ et $-x-5=0\iff x=-5$. On dresse le tableau de signes :
$S=]-\infty;-5]\cup[2;+\infty[$
Méthode Inéquation quotient
Résoudre $\dfrac{-2x+4}{x+3}\geq0$ : attention à la valeur interdite $-3$ (double barre dans le tableau).
$S=]-3;2]$
Exemple
$(2x-1)^2<(2x-1)(x-4)\iff(2x-1)\left[(2x-1)-(x-4)\right]<0$
$\iff(2x-1)(x+3)<0$
$S=\left]-3;\dfrac{1}{2}\right[$
$\dfrac{2x+3}{x-1}\leq\dfrac{4x}{2x-3}\iff\dfrac{4x-9}{(x-1)(2x-3)}\leq0$ (après réduction au même dénominateur)
$S=]-\infty;1[\cup\left]\dfrac{3}{2};\dfrac{9}{4}\right]$
Équations du second degré
Définition
Un trinôme du second degré est une expression $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ ; ses racines sont les solutions de $ax^2+bx+c=0$.
Exemple : $3$ est une racine de $2x^2-4x-6$ car $2\times9-12-6=0$.
Définition Forme canonique et discriminant
En posant $\Delta=b^2-4ac$ (le discriminant), on a la forme canonique :
$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$
Exemple : $x^2-8x+9=(x-4)^2-16+9=(x-4)^2-7$.
Théorème Résolution de $ax^2+bx+c=0$
- $\Delta<0$ : pas de solution réelle ;
- $\Delta=0$ : une solution (double) $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ ;
- $\Delta>0$ : deux solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Exemple
| Équation | $\Delta$ | Solutions |
| $x^2-3x+4=0$ | $9-16=-7<0$ | aucune |
| $3x^2-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{49}{48}=0$ | $\dfrac{49}{4}-\dfrac{49}{4}=0$ | $x_0=\dfrac{7}{12}$ |
| $3x^2-x-4=0$ | $1+48=49>0$ | $x_1=-1$ ; $x_2=\dfrac{4}{3}$ |
Théorème Factorisation et signe du trinôme
- Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$.
- Le trinôme est **du signe de $a$, sauf entre les racines** lorsqu’elles existent ; si $\Delta<0$, il garde le signe de $a$.
Exemple
$x^2-4x+1\geq0$ : $\Delta=12>0$, $x_1=2-\sqrt{3}$, $x_2=2+\sqrt{3}$ et $a=1>0$ :
$S=\left]-\infty;2-\sqrt{3}\right]\cup\left[2+\sqrt{3};+\infty\right[$
Systèmes
Définition Équation du premier degré à deux inconnues
Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ l’équation $ax+by+c=0$, c’est trouver tous les couples $(x;y)$ qui la vérifient. Si $b\neq0$ :
$S=\left\{\left(t;-\dfrac{c}{b}-\dfrac{a}{b}t\right)/t\in\mathbb{R}\right\}$
(Si $a=b=0$ : $S=\mathbb{R}^2$ si $c=0$, $S=\emptyset$ sinon.)
Propriété Système de deux équations : méthode des déterminants
$(S):\begin{cases}ax+by=c\\a^{\prime}x+b^{\prime}y=c^{\prime}\end{cases}$ ; $\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a^{\prime}&b^{\prime}\end{vmatrix}=ab^{\prime}-a^{\prime}b$
$\Delta_x=\begin{vmatrix}c&b\\c^{\prime}&b^{\prime}\end{vmatrix}=cb^{\prime}-c^{\prime}b$ ; $\Delta_y=\begin{vmatrix}a&c\\a^{\prime}&c^{\prime}\end{vmatrix}=ac^{\prime}-a^{\prime}c$
- Si $\Delta\neq0$ : solution unique $\left(\dfrac{\Delta_x}{\Delta};\dfrac{\Delta_y}{\Delta}\right)$.
- Si $\Delta=0$ : aucune solution ou une infinité de solutions.
Exemple
$\begin{cases}2x+3y=12\\x-y=1\end{cases}$ : $\Delta=2\times(-1)-1\times3=-5$ ; $\Delta_x=12\times(-1)-1\times3=-15$ ; $\Delta_y=2\times1-1\times12=-10$
$S=\{(3;2)\}$
Remarque Interprétation géométrique
Résoudre $(S)$ revient à chercher l’intersection des droites $ax+by=c$ et $a^{\prime}x+b^{\prime}y=c^{\prime}$ : sécantes si $\Delta\neq0$ (une solution), parallèles si $\Delta=0$.
Méthode Résolution graphique d’un système d’inéquations
$(S):\begin{cases}2x+3y-12\geq0\\x+y-6\leq0\end{cases}$
- $2x+3y-12\geq0$ : pour $O$ on obtient $-12<0$ : demi-plan de frontière $2x+3y=12$ ne contenant pas $O$.
- $x+y-6\leq0$ : pour $O$ on obtient $-6\leq0$ : demi-plan de frontière $x+y=6$ contenant $O$.
Les solutions sont les points de la région située entre les deux droites (au-dessus de la première, au-dessous de la seconde)
À retenir
- Produit nul : un facteur nul ; quotient : dénominateur non nul ; diviser par un négatif change le sens.
- $\Delta=b^2-4ac$ : $0$, $1$ ou $2$ racines ; trinôme du signe de $a$ sauf entre les racines.
- Système : $\Delta=ab^{\prime}-a^{\prime}b\neq0$ ⇒ solution unique $\left(\dfrac{\Delta_x}{\Delta};\dfrac{\Delta_y}{\Delta}\right)$.