Rappels
Ensemble de définition
Définition
Soit $f$ une fonction numérique.
L’ensemble de définition de $f$, noté $D_f$, est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe (se calcule).
Méthode Déterminer $D_f$
- Polynôme : défini pour tout réel, donc $D_f=\mathbb{R}$.
- Quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ : il faut $B(x)\neq0$.
- Racine $\sqrt{A(x)}$ : il faut $A(x)\geq0$.
- Racine au dénominateur $\dfrac{1}{\sqrt{A(x)}}$ : il faut $A(x)>0$.
>> On écrit $D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ \ldots\}$, puis on résout la condition équivalence après équivalence.
Exemple Fonction polynôme
$f(x)=x^3-2x^2+5$ : $f$ est une fonction polynôme.
$D_f=\mathbb{R}$
Exemple Fonction rationnelle
$g(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-4}$ : quotient, il faut que le dénominateur soit non nul.
$D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-4\neq0\}$
$x\in D_g\iff x^2-4\neq0$
$\iff x^2\neq4$
$\iff x\neq2$ et $x\neq-2$
$D_g=\mathbb{R}-\{-2;2\}$
Exemple Fonction avec racine
$h(x)=\sqrt{6-2x}$ : la quantité sous la racine doit être positive.
$D_h=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 6-2x\geq0\}$
$x\in D_h\iff6-2x\geq0$
$\iff-2x\geq-6$
$\iff x\leq3$ (on divise par $-2<0$ : le sens change)
$D_h=]-\infty;3]$
Parité
Définition Fonction paire
Soit $f$ une fonction numérique d’ensemble de définition $D_f$.
$f$ est paire si les deux conditions sont vérifiées :
1. $(\forall x\in D_f)$ : $-x\in D_f$ ($D_f$ est symétrique par rapport à $0$) ;
2. $(\forall x\in D_f)$ : $f(-x)=f(x)$.
Définition Fonction impaire
Soit $f$ une fonction numérique d’ensemble de définition $D_f$.
$f$ est impaire si les deux conditions sont vérifiées :
1. $(\forall x\in D_f)$ : $-x\in D_f$ ;
2. $(\forall x\in D_f)$ : $f(-x)=-f(x)$.
Propriété Interprétation géométrique
- $f$ paire $\iff$ $(C_f)$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : $M(x;f(x))$ et $M'(-x;f(x))$ sont sur la courbe.
- $f$ impaire $\iff$ $(C_f)$ est symétrique par rapport à l’origine $O$ : $M(x;f(x))$ et $M'(-x;-f(x))$ sont sur la courbe.
>> On étudie donc une fonction paire ou impaire sur $D_f\cap[0;+\infty[$, puis on complète par symétrie.
Méthode Étudier la parité
1. On vérifie la condition 1 : $D_f$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? Si non, $f$ n’est ni paire ni impaire.
2. On calcule $f(-x)$, ligne après ligne, et on compare avec $f(x)$ et $-f(x)$.
Exemple Fonction paire
Soit $f(x)=x^2-1$.
Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ -x\in D_f$ ?
$f$ est un polynôme, donc $D_f=\mathbb{R}$ ; si $x\in\mathbb{R}$, alors $-x\in\mathbb{R}$.
✔ La condition 1 est vérifiée.
Condition 2 : $(\forall x\in D_f)\ f(-x)=f(x)$ ?
$f(-x)=(-x)^2-1$
$=x^2-1$
$=f(x)$
✔ La condition 2 est vérifiée.
Les deux conditions sont vérifiées : $f$ est paire
Exemple Fonction impaire
Soit $g(x)=x^3-x$.
Condition 1 : $(\forall x\in D_g)\ -x\in D_g$ ?
$g$ est un polynôme, donc $D_g=\mathbb{R}$ ; si $x\in\mathbb{R}$, alors $-x\in\mathbb{R}$.
✔ La condition 1 est vérifiée.
Condition 2 : $(\forall x\in D_g)\ g(-x)=-g(x)$ ?
$g(-x)=(-x)^3-(-x)$
$=-x^3+x$
$=-\left(x^3-x\right)$
$=-g(x)$
✔ La condition 2 est vérifiée.
Les deux conditions sont vérifiées : $g$ est impaire
Exemple Ni paire ni impaire
Soit $h(x)=\dfrac{x}{x-1}$ ; on a $D_h=\mathbb{R}-\{1\}$.
Condition 1 : $(\forall x\in D_h)\ -x\in D_h$ ?
$-1\in D_h$ mais $-(-1)=1\notin D_h$.
✘ La condition 1 n’est pas vérifiée (inutile d’étudier la condition 2).
[!] $h$ n’est ni paire ni impaire
Erreur fréquente
Soit $k(x)=x^2+x$.
Condition 1 : $D_k=\mathbb{R}$ est symétrique ✔.
Condition 2 : on teste avec $x=1$ :
$k(1)=1+1=2$
$k(-1)=1-1=0$
$k(-1)\neq k(1)$ et $k(-1)\neq-k(1)$ : ✘ condition 2 non vérifiée.
[!] Un contre-exemple suffit : $k$ n’est ni paire ni impaire
Variations d’une fonction
Définition
Soit $f$ une fonction numérique et $I$ un intervalle inclus dans $D_f$. Pour tous $a$ et $b$ de $I$ :
- $f$ croissante sur $I$ : si $a<b$ alors $f(a)\leq f(b)$ ;
- $f$ strictement croissante sur $I$ : si $a<b$ alors $f(a)<f(b)$ ;
- $f$ décroissante sur $I$ : si $a<b$ alors $f(a)\geq f(b)$ ;
- $f$ strictement décroissante sur $I$ : si $a<b$ alors $f(a)>f(b)$ ;
- $f$ constante sur $I$ : $f(a)=f(b)$.
Propriété Taux de variation
Pour $a\neq b$ dans $I$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est :
$T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$
- si $T>0$ pour tous $a\neq b$ de $I$ : $f$ est strictement croissante sur $I$ ;
- si $T<0$ pour tous $a\neq b$ de $I$ : $f$ est strictement décroissante sur $I$ ;
- si $T=0$ : $f$ est constante sur $I$.
Méthode Étudier les variations avec le taux
1. On calcule $f(a)-f(b)$ et on **factorise par $a-b$**.
2. On simplifie $T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$.
3. On étudie le **signe de $T$** sur chaque intervalle et on conclut.
Exemple $f(x)=x^2$
Pour $a\neq b$ :
$T=\dfrac{a^2-b^2}{a-b}$
$=\dfrac{(a-b)(a+b)}{a-b}$
$=a+b$
- Sur $[0;+\infty[$ : $a\geq0$ et $b\geq0$ (non tous deux nuls), donc $T=a+b>0$ : $f$ est strictement croissante.
- Sur $]-\infty;0]$ : $T=a+b<0$ : $f$ est strictement décroissante.
Exemple $g(x)=\dfrac{1}{x}$
Pour $a\neq b$ non nuls :
$g(a)-g(b)=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}$
$T=\dfrac{b-a}{ab(a-b)}=-\dfrac{1}{ab}$
Sur $]0;+\infty[$ (et sur $]-\infty;0[$), $a$ et $b$ ont le même signe : $ab>0$, donc $T<0$.
$g$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$
Remarque Parité et variations
- $f$ paire : les variations sur $]-\infty;0]$ sont inversées par rapport à $[0;+\infty[$ (exemple : $x^2$).
- $f$ impaire : $f$ a le même sens de variation sur $[0;+\infty[$ et sur $]-\infty;0]$ (exemple : $x^3$).
Propriété Monotonie de $\lambda f$ et de $f+\lambda$
Soit $f$ une fonction monotone sur un intervalle $I$ et $\lambda$ un réel non nul.
- $f+\lambda$ a le même sens de variation que $f$ sur $I$ ;
- si $\lambda>0$ : $\lambda f$ a le même sens de variation que $f$ ;
- si $\lambda<0$ : $\lambda f$ a le sens de variation contraire de celui de $f$.
>> Justification : $T_{\lambda f}(a;b)=\lambda\,T_f(a;b)$ et $T_{f+\lambda}(a;b)=T_f(a;b)$.
Exemple : $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]0;+\infty[$, donc $x\mapsto-\dfrac{3}{x}$ est croissante sur $]0;+\infty[$ ($\lambda=-3<0$)
Fonction majorée, minorée, bornée
Définition
Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle inclus dans $D_f$.
- $f$ est majorée sur $I$ s’il existe un réel $M$ tel que : $(\forall x\in I)$ $f(x)\leq M$.
- $f$ est minorée sur $I$ s’il existe un réel $m$ tel que : $(\forall x\in I)$ $f(x)\geq m$.
- $f$ est bornée sur $I$ si elle est majorée et minorée : $(\forall x\in I)$ $m\leq f(x)\leq M$.
Remarque
- $f$ est bornée sur $I$ $\iff$ il existe $k>0$ tel que $(\forall x\in I)$ $|f(x)|\leq k$.
- Géométriquement : $f$ majorée par $M$ $\iff$ $(C_f)$ est au-dessous de la droite $y=M$ ; minorée par $m$ $\iff$ $(C_f)$ est au-dessus de $y=m$.
Exemple Fonction minorée
$f(x)=x^2+2x+3$. On utilise la forme canonique :
$f(x)=(x+1)^2+2$
Comme $(x+1)^2\geq0$ : $f(x)\geq2$ pour tout $x$.
$f$ est minorée par $2$ sur $\mathbb{R}$
Exemple Fonction bornée
$g(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$. Pour tout $x$ : $x^2+1\geq1>0$, donc en passant à l’inverse :
$0<\dfrac{1}{x^2+1}\leq1$
$g$ est bornée sur $\mathbb{R}$ : $0<g(x)\leq1$
Définition Extremums
- $f(a)$ est la valeur maximale de $f$ sur $I$ si $a\in I$ et $(\forall x\in I)$ $f(x)\leq f(a)$.
- $f(b)$ est la valeur minimale de $f$ sur $I$ si $b\in I$ et $(\forall x\in I)$ $f(x)\geq f(b)$.
>> Exemple : $g(0)=1$ et $g(x)\leq1$ : $1$ est la valeur maximale de $g$ (atteinte en $0$).
- $f(a)$ est une valeur maximale relative (locale) de $f$ s’il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ tel que $(\forall x\in J\cap D_f)$ $f(x)\leq f(a)$ ; de même pour une valeur minimale relative.
- Les valeurs maximales et minimales s’appellent les extremums de $f$.
Erreur fréquente
Un majorant n’est pas toujours un maximum : $\dfrac{x^2}{x^2+1}<1$ pour tout $x$, mais la valeur $1$ n’est jamais atteinte : $1$ est un majorant, pas une valeur maximale.
Application
Montrer que $h(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ est bornée par $-1$ et $1$ sur $\mathbb{R}$.
Réponse
>> On étudie le signe de $h(x)-1$ et de $h(x)+1$.
$h(x)-1=\dfrac{2x-x^2-1}{x^2+1}=\dfrac{-(x-1)^2}{x^2+1}\leq0$
$h(x)+1=\dfrac{2x+x^2+1}{x^2+1}=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}\geq0$
$-1\leq h(x)\leq1$ ; de plus $h(1)=1$ et $h(-1)=-1$ : ce sont le maximum et le minimum
Comparaison de deux fonctions
Définition
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$.
- $f=g$ sur $I$ : $(\forall x\in I)$ $f(x)=g(x)$ ;
- $f\leq g$ sur $I$ : $(\forall x\in I)$ $f(x)\leq g(x)$ ;
- $f$ positive sur $I$ : $(\forall x\in I)$ $f(x)\geq0$ ;
- $f$ négative sur $I$ : $(\forall x\in I)$ $f(x)\leq0$.
Propriété Interprétation géométrique
- $f\leq g$ sur $I$ $\iff$ $(C_f)$ est au-dessous de $(C_g)$ sur $I$.
- $f\geq0$ sur $I$ $\iff$ $(C_f)$ est au-dessus de l’axe des abscisses sur $I$.
Méthode Comparer $f$ et $g$
1. On calcule $f(x)-g(x)$ et on le factorise.
2. On étudie son signe (tableau de signes).
3. $f(x)-g(x)\leq0$ $\iff$ $f(x)\leq g(x)$.
Exemple
$f(x)=x^2$ et $g(x)=x$ sur $[0;1]$ :
$f(x)-g(x)=x^2-x=x(x-1)$
Pour $x\in[0;1]$ : $x\geq0$ et $x-1\leq0$, donc $x(x-1)\leq0$.
$f\leq g$ sur $[0;1]$ : $(C_f)$ est au-dessous de $(C_g)$
Éléments de symétrie d’une courbe
Propriété Axe de symétrie
La droite d’équation $x=a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ si les deux conditions sont vérifiées :
1. $(\forall x\in D_f)$ : $2a-x\in D_f$ ;
2. $(\forall x\in D_f)$ : $f(2a-x)=f(x)$.
Exemple
$f(x)=x^2-4x+3$ ; montrons que $x=2$ est un axe de symétrie ($a=2$, $2a-x=4-x$).
Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ 4-x\in D_f$ ?
$f$ est un polynôme, donc $D_f=\mathbb{R}$ ; si $x\in\mathbb{R}$, alors $4-x\in\mathbb{R}$.
✔ La condition 1 est vérifiée.
Condition 2 : $(\forall x\in D_f)\ f(4-x)=f(x)$ ?
$f(4-x)=(4-x)^2-4(4-x)+3$
$=16-8x+x^2-16+4x+3$
$=x^2-4x+3$
$=f(x)$
✔ La condition 2 est vérifiée.
Les deux conditions sont vérifiées : la droite $x=2$ est un axe de symétrie de $(C_f)$
Propriété Centre de symétrie
Le point $\Omega(a;b)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ si les deux conditions sont vérifiées :
1. $(\forall x\in D_f)$ : $2a-x\in D_f$ ;
2. $(\forall x\in D_f)$ : $f(2a-x)+f(x)=2b$.
Exemple
$f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$ ; montrons que $\Omega(1;1)$ est un centre de symétrie ($a=1$, $b=1$, $2a-x=2-x$).
Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ 2-x\in D_f$ ?
$D_f=\mathbb{R}-\{1\}$. Soit $x\in D_f$ :
$x\neq1\iff-x\neq-1$
$\iff2-x\neq1$
donc $2-x\in D_f$.
✔ La condition 1 est vérifiée.
Condition 2 : $(\forall x\in D_f)\ f(2-x)+f(x)=2\times1$ ?
$f(2-x)=\dfrac{(2-x)+1}{(2-x)-1}=\dfrac{3-x}{1-x}=\dfrac{x-3}{x-1}$
$f(2-x)+f(x)=\dfrac{x-3}{x-1}+\dfrac{x+1}{x-1}$
$=\dfrac{2x-2}{x-1}$
$=\dfrac{2(x-1)}{x-1}$
$=2$
✔ La condition 2 est vérifiée.
Les deux conditions sont vérifiées : $\Omega(1;1)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$
Remarque
>> Un axe de symétrie (ou un centre) permet d’étudier $f$ sur une moitié de $D_f$ seulement.
Fonction périodique
Définition
Soient $f$ une fonction numérique et $T>0$. La fonction $f$ est **périodique de période $T$ si les deux conditions** sont vérifiées :
1. $(\forall x\in D_f)$ : $x+T\in D_f$ et $x-T\in D_f$ ;
2. $(\forall x\in D_f)$ : $f(x+T)=f(x)$.
>> Le plus petit $T>0$ qui vérifie ces conditions s’appelle la période de $f$.
Exemple Fonctions trigonométriques
- $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$ : $\cos(x+2\pi)=\cos x$ ; $\sin(x+2\pi)=\sin x$.
- $\tan$ est périodique de période $\pi$ : $\tan(x+\pi)=\tan x$.
Exemple $f(x)=\sin(2x)$
Condition 1 : $(\forall x\in D_f)\ x+\pi\in D_f$ et $x-\pi\in D_f$ ?
$D_f=\mathbb{R}$ ; si $x\in\mathbb{R}$, alors $x+\pi\in\mathbb{R}$ et $x-\pi\in\mathbb{R}$.
✔ La condition 1 est vérifiée.
Condition 2 : $(\forall x\in D_f)\ f(x+\pi)=f(x)$ ?
$f(x+\pi)=\sin\left(2(x+\pi)\right)$
$=\sin(2x+2\pi)$
$=\sin(2x)$
$=f(x)$
✔ La condition 2 est vérifiée.
Les deux conditions sont vérifiées : $f$ est périodique de période $\pi$
Lecture graphique : la courbe se répète à l’identique sur chaque intervalle de longueur $\pi$ ; $A$ et $B$ ont la même ordonnée et $x_B=x_A+\pi$.
Propriété
Pour $a\neq0$ : $x\mapsto\cos(ax+b)$ et $x\mapsto\sin(ax+b)$ sont périodiques de période $\dfrac{2\pi}{|a|}$.
>> On étudie une fonction périodique sur **un intervalle de longueur $T$**, puis on reproduit la courbe.
Fonctions usuelles
Rappel : fonction trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq0$)
Propriété
- Forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
- $(C_f)$ est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ et d’axe de symétrie $x=\alpha$.
- $a>0$ : décroissante puis croissante (minimum $\beta$) ; $a<0$ : croissante puis décroissante (maximum $\beta$).
Exemple
$f(x)=x^2-4x+3$ : $\alpha=-\dfrac{-4}{2}=2$ et $\beta=f(2)=-1$, donc $f(x)=(x-2)^2-1$ : parabole de sommet $S(2;-1)$ (figure du IV).
Rappel : fonction homographique $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq0$, $ad-bc\neq0$)
Propriété
- $D_f=\left\{x\in\mathbb{R}\ /\ cx+d\neq0\right\}=\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.
- On calcule le déterminant $\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ :
- si $\Delta>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty;-\dfrac{d}{c}\right[$ et sur $\left]-\dfrac{d}{c};+\infty\right[$ ;
- si $\Delta<0$ : $f$ est strictement décroissante sur chacun de ces deux intervalles.
- $(C_f)$ est une hyperbole de centre $\Omega\left(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\right)$, d’asymptotes $x=-\dfrac{d}{c}$ et $y=\dfrac{a}{c}$.
Exemple
Soit $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$ : $a=1$, $b=1$, $c=1$, $d=-1$.
$x\in D_f\iff x-1\neq0$
$\iff x\neq1$
$D_f=\mathbb{R}-\{1\}$
$\Delta=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=1\times(-1)-1\times1$
$=-2$
$\Delta<0$ :
$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$
Centre $\Omega(1;1)$, asymptotes $x=1$ et $y=1$ (figure du IV).
La fonction $x\mapsto ax^3$ ($a\neq0$)
Propriété
- $D_f=\mathbb{R}$ et $f$ est impaire : $(C_f)$ est symétrique par rapport à l’origine.
- $a>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; $a<0$ : strictement décroissante.
>> Justification ($a>0$) : $T=\dfrac{a(u^3-v^3)}{u-v}=a(u^2+uv+v^2)>0$ pour $u\neq v$.
Exemple Étude complète de $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^3$
1. Ensemble de définition : $f$ est un polynôme.
$D_f=\mathbb{R}$
2. Parité — Condition 1 : $D_f=\mathbb{R}$ ; si $x\in\mathbb{R}$, alors $-x\in\mathbb{R}$ ✔.
Condition 2 :
$f(-x)=-\dfrac{1}{2}(-x)^3$
$=-\dfrac{1}{2}\left(-x^3\right)$
$=\dfrac{1}{2}x^3=-f(x)$ ✔
$f$ est impaire : $(C_f)$ est symétrique par rapport à l’origine $O$
3. Variations (taux de variation) — pour $u\neq v$ :
$T=\dfrac{f(u)-f(v)}{u-v}=\dfrac{-\frac{1}{2}\left(u^3-v^3\right)}{u-v}$
$=\dfrac{-\frac{1}{2}(u-v)\left(u^2+uv+v^2\right)}{u-v}$
$=-\dfrac{1}{2}\left(u^2+uv+v^2\right)$
Or $u^2+uv+v^2=\left(u+\dfrac{v}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}v^2>0$ (car $u$ et $v$ ne sont pas tous deux nuls), donc $T<0$ :
$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ (car $a=-\dfrac{1}{2}<0$)
4. Tableau de valeurs (on utilise l’imparité : $f(-x)=-f(x)$) :
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $f(x)$ | $4$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-4$ |
5. Courbe : on place les points, on vérifie la symétrie par rapport à $O$ ($A$ et $B$ sont symétriques) et la décroissance.
La fonction $x\mapsto\sqrt{x+a}$
Propriété
- $D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+a\geq0\}=[-a;+\infty[$.
- $f$ est strictement croissante sur $[-a;+\infty[$ et $f(-a)=0$ : minimum $0$.
- $(C_f)$ est une demi-parabole d’origine $A(-a;0)$ (même forme que la courbe de $\sqrt{x}$, décalée).
>> Justification : pour $-a\leq u<v$ : $u+a<v+a$ et la racine carrée est strictement croissante, donc $\sqrt{u+a}<\sqrt{v+a}$.
Exemple $f(x)=\sqrt{x+2}$
$x\in D_f\iff x+2\geq0$
$\iff x\geq-2$
$D_f=[-2;+\infty[$
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $2$ | $7$ |
| $f(x)$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
Composée de deux fonctions
Définition
Soient $f$ définie sur $I$ et $g$ définie sur $J$ avec $(\forall x\in I)$ $f(x)\in J$. La composée $g\circ f$ est définie sur $I$ par :
$(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)$
Propriété Monotonie d’une composée
- $f$ et $g$ de même sens de variation ⇒ $g\circ f$ est croissante ;
- $f$ et $g$ de sens contraires ⇒ $g\circ f$ est décroissante.
Exemple
$h(x)=\sqrt{x^2+1}$ sur $[0;+\infty[$ : $h=g\circ f$ avec $f(x)=x^2+1$ (croissante sur $[0;+\infty[$, à valeurs dans $[1;+\infty[$) et $g(x)=\sqrt{x}$ (croissante sur $[1;+\infty[$).
Même sens : $h$ est croissante sur $[0;+\infty[$
Image d’un intervalle par une fonction
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. L’image de $I$ par $f$, notée $f(I)$, est l’ensemble de toutes les valeurs $f(x)$ lorsque $x$ parcourt $I$ :
$f(I)=\{f(x)\ /\ x\in I\}$
Remarque Lecture graphique : l’image est une ombre
On projette sur l’axe $(Oy)$, **parallèlement à l’axe $(Ox)$, tout** l’arc de $(C_f)$ situé au-dessus de $I$ (voir la leçon « La projection ») : l’ensemble des projetés est $f(I)$.
Expérience réelle : une lampe éclaire horizontalement un fil qui a la forme de cet arc ; son ombre sur un mur vertical a les mêmes ordonnées que $f(I)$.
Propriété Fonction monotone sur $[a;b]$
Si la courbe de $f$ est tracée « d’un seul trait » sur $[a;b]$ (cas des fonctions usuelles du cours) :
- $f$ croissante sur $[a;b]$ ⇒ $f([a;b])=[f(a);f(b)]$ ;
- $f$ décroissante sur $[a;b]$ ⇒ $f([a;b])=[f(b);f(a)]$.
>> Si $f$ change de sens de variation sur $I$, on découpe $I$ et on utilise $f(I\cup J)=f(I)\cup f(J)$.
Exemple $f(x)=x^2$ et $I=[-1;2]$
$f$ est décroissante sur $[-1;0]$ : $f([-1;0])=[f(0);f(-1)]=[0;1]$.
$f$ est croissante sur $[0;2]$ : $f([0;2])=[f(0);f(2)]=[0;4]$.
$f([-1;2])=[0;1]\cup[0;4]=[0;4]$
>> Attention : $[f(-1);f(2)]=[1;4]$ est faux : on a oublié l’ombre du sommet $O(0;0)$.
Exemple $g(x)=\sqrt{x}$ et $I=[1;4]$
$g$ est croissante sur $[0;+\infty[$, donc sur $[1;4]$.
$g([1;4])=[\sqrt{1};\sqrt{4}]=[1;2]$
À retenir
- $D_f$ d’abord : polynôme ⇒ $\mathbb{R}$ ; quotient ⇒ dénominateur $\neq0$ ; racine ⇒ $\geq0$.
- Parité, axe, centre, période : deux conditions à vérifier, chacune avec justification.
- Variations : signe du taux $T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$.
- Image : $f(I)$ = ombre de tout l’arc au-dessus de $I$ sur $(Oy)$ ; si $f$ est monotone, les extrémités suffisent.